形，ABCD，AB4BCCD2AA12E、
D1
E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。（1）（2）证明：直线EE1平面FCC1；求二面角BFC1C的余弦值。
C1B1
A1
E1EA
DF
CB
解法一：（1）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB4CD2且ABCD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1A1D，所以CF1EE1，又因为EE1所以直线EE1平面FCC1
D1A1F1POF
C1B1CB
平面FCC1，CF1平面FCC1，
E1EA
D
（2）因为AB4BCCD2、F是棱AB的中点所以BFBCCF△BCF为正三角形取CF的中点O则OB⊥CF又因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1中CC1⊥平面ABCD所以CC1⊥BO所以OB⊥平面CC1F过O在平面CC1F内作OP⊥C1F垂足为P连接BP则∠OPB为二面角BFC1C的一个平面角在△BCF为正三角形
中OB
3在
Rt△CC1F中△OPF∽△CC1F∵
OPOFCC1C1F
∴OP
122
22
2
22

2OP7114222在Rt△OPF中BPOPOBcosOPB所以二3BP722142
f面角BFC1C的余弦值为
77

zD1A1C1B1DEMx
0）E1（
解法二（1）因为AB4BCCD2F是棱AB的中点所以BFBCCF△BCF为正三角形因为ABCD为等腰梯形所以∠BAC∠ABC60°取AF的中点M连接DM则DM⊥AB所以DM⊥CD以DM为x轴DC为y轴DD1为z轴建立空间直角坐标系则D（000）A（
E1A
CF
）所以
yB
310）F（310）C（020）
E（
C1
（
022
）
32

12
3
11
31EE11CF310CC1002FC1312设平面CCF的法向量223xy0
CF0为
xyz则所以取
130则z0
CC10
1
31
EE113100所以
EE1所以直线EE1平面FCC122
1FB0（2）FB020设平面BFC的法向量为
1x1y1z1则
FC110
1
所以
y10取
1203则
121300323x1y12z10
1322
1220327

127所以cos
17
127
余弦值为由图可知二面角BFC1C为锐角所以二面角BFC1C的
77

【命题立意】本r