1
1
1010
0
000

3
2
1
2
0

1
2
所以Axb的通解为Xk101T0Tk为任意常数。
x1x2x3x41
八、
（12分）已知非齐次线性方程组4x13x25x3x41有3个线性无关的解，
axx3xbx1
3
4
12
（1）证明方程组系数矩阵A的秩R（A）2；
（2）求a，b得值及方程组的通解。
解：
（1）设α1，α2，α3是方程组Axβ的3个线性无关的解，其中
1111
1

A43511，则有A12OA13O。
a13b
1

可见α1α2，α1α3是对应齐次线性方程组Ax的解，且线性无关（否则，易推出α1，α2，α3
线性相关，矛盾）
。
所以
RA≥2，即4RA≥2，RA≤2。
又因为矩阵A中有一个2阶子式
11
43
1≠0，所以RA≥2。
所以R（A）2
（2）因为
1
1
111
1
1
11111


A435101
1
501
1
5，由（1）
a13b01a3aba0042ab4a5


42a0
a2
，所以对原方程组的增广矩阵进行初等行
b4a50b3
可知R（A）2，则
1111110242

变换得A4351101153，故
2133100000


x12x34x42
，选取x3，x4为自由变量，则方程组的通解为
x2x35x43
Xk12110Tk24501T2300Tk1k2为任意常数值。
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