tdxa1cost2
t1ttcotcsc2csc2d2y2222dx2a1costa1cost2a1cost
四、计算下列各题（每小题5分，共10分）1）计算
dx
x
2
12
3
解：设xta
t
f
dx
x
2
1
32

se2ctxcostdtsi
tCse3ctdt1x2
C
2）计算
si
xl
ta
xdx
cosx2secxdxcosxl
ta
xcscxdxta
x
解：原式cosxl
ta
x
cosxl
ta
xl
cscxcotxC
五、（每小题5分，共20分）1）在下列两个积分

2

0
excos2xdx
2


2
excos2xdx
2
中确定哪个积分值大，并说明理由。解：设xt

excos2xdxetcos2tdtexcos2xdx
222


0
0
当x0时，因为excos2xe
2
x
2
cos2x，由定积分的比较性质得

2）计算
11

0
excos2xdxexcos2xdx
22
2

x21si
x11x2
1
dx
si
2tcostdt22costcos2tdt2101cost4
解：原式2
e
x211x2
0
dx22
0
3）计算1l
xdx
e
解：原式1l
xdxl
xdxxl
xx1xl
xx1
1e1e1e
e
2
2e
0
4）设a0，求eaxsi
xdx。
1a1解：原式eaxcosxsi
x2221a1a01a
六、解答下列各题（每小题6分，共12分）1）求由曲线yx2x2和y0所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。

x4解：V2xdx8020
23
2
f2）求心形线ra1cos的全长。解：
2a21cosa2si
2d2acosd2a2si
8a22

七、证明题（共5分）设fx是在区间ab上的连续函数，gx是在区间ab上的不变号的可积函数，证明至少存在一点ab使得
fxgxdxfgxdx
aa
b
b
证明：无妨设gx0，因为fx是在区间ab上的连续函数，由最大值和最小值定理可得，fx在区间ab上有最大值M和最小值m，所以
mgxfxgxMgx
由定积分的比较性质有
xab
mgxdxfxgxdxMgxdx
aaa
b
b
r