【详解】
zzyf1xyxyf2xyxy，xf1xyxyf2xyxyxy
2z2z2z2f12f22；fffff2ff，，1fff11111221221112221122x2xyy22z2z2zf22．13f11x2xyy2
17．（本题满分10分）设函数yx是微分方程yxy（1）求yx的表达式；（2）设平面区域Dxy1x20yyx，求D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程yxy0的通解：yCe，其中C为任意常数；再用常数变易法求yxy
x22x22
x22
12x
e满足条件y1e的特解．
x22
12x
e
x22
通解，设yCxe
x22
为其解，代入方程，得
x22
Cxe

12x
eCx
12x
，Cx
2
2
1x
dxxC1，也就是通解为：yxC1e
把初始条件y1e代入，得C10，从而得到yx（2）旋转体的体积为Vx
xe
e4e．
x22

2
1
yx2dxxexdx
2

2
1
18．（本题满分10分）求曲线yesi
xx0与x轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x轴的交点：令e
x
x
si
x0得xkk012
5
f当2kx2k1时，yexsi
x0；当2kx2k2时，yexsi
x0．
x由不定积分esi
xdx

1xesi
xcosxC可得2

2k
2k
exsi
xdx
2k212k1e1e，exsi
xdxe2k1e2k22
所求面积为
Se
0

x
si
xdx
k0

2k
2k
esi
xdx
xk0

2k2
2k
exsi
xdx
11e2k1ee2k1ek02k02
19．（本题满分10分）设a

12k1111e22e1e1e2k021e221e

1
0
x
1x2dx
012
1aa
2
23；（2）求极限lim
．
2a
1
10
（1）证明：数列a
单调减少，且a
【详解】（1）证明：a
当x01时，显然有x先设I


1
0
x
1x2dx，a
1x
11x2dx
01r