2019年考研数学一真题解析
一、选择题18小题．每小题4分，共32分．
1．当x0时，若xta
x与xk是同阶无穷小，则k（）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
【答案】（C）
【详解】当x0时，ta
xx1x3ox3，所以xta
x1x3ox3，所以k3．
3
3
2．设函数
f
x

x
x

x0，则x0是fx的（
）
xl
xx0
（A）可导点，极值点
（B）不可导的点，极值点
（C）可导点，非极值点
（D）不可导点，非极值点
【答案】（B）
l
1
【详解】（1）f00limxl
xlimx0f00limxx0f00，所以函数在x0
x0
1x0
x0
x
处连续；（2）
f0

lim
x0
xl
x
x


，所以函数在
x0
处不可导；（3）当
x0时，
fxx2fx2x0，函数单调递增；当0x1时，fx1l
x0，函数单调减少，所e
以函数在x0取得极大值．
3．设u
是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（
）
（A）u
1

（B）1
1

1
u

C）

1
1
u
u
1


（D）u
21u
2
1
【答案】（D）
【详解】设u
是单调增加的有界数列，由单调有界定理知
lim

u

存在，记为
lim

u


u
；又设

，满足
u


M
，
则
u2
1
u
2

u
1
u
u
1
u


2Mu
1
u

，且
u2
1
u
2

0
，则对于正项对于级数

u
21u
2，前
项和：
1



S
uk21uk22Muk1uk2Mu
1u12Mu
12Mu
k1
k1

也就是u
21u
2收敛．
1
1
f4．设函数Qx
y

xy2
，如果对于上半平面y
0内任意有向光滑封闭曲线C
都有
那么函数Pxy可取为（
CPxydxQxydy0
）
（A）
y

x2y2
（B）
1y

x2y2
（C）11xy
（D）x1y
【答案】（D）
【详解】显然，由积分与路径无关条件知Py

Qx

1y2
，也就是Pxy


1y
Cx，其中Cx
是在
上处处可导的函数．只有（D）满足．
5．设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2A2E，且A4，则二次型xTAx的规范形
是
（
）
（A）y12y22y32
【答案】（C）
（B）y12y22y32（C）y12y22y32
（D）y12y22y32
【详解】假设是矩阵A的特征值，由条件A2A2E可得220，也就是矩阵A特征值只可
能是1和2．而A1234，所以三个特征值只能是11232，根据惯性定理，二次型的
规范型为y12y22y32．
6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
ai1xai2yai3zdii123组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为
AA，则（）
（A）rA2rA3
（B）rA2rA2
（C）rA1rA2
（D）rA1rA1
【答案】（A）
【详解】1r