第三学期《数学分析》期末试题一、选择题：（15分，每小题3分）1、累次极限存在是重极限存在的（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件
2、fxy
（
）
x
x0y0
A
lim
fx0xy0yfx0y0
；
x0
x
Blimfx0xy0；
x0
x
C
lim
fx0xy0yfx0xy0
；
D
lim
fx0xy0fx0y0。
x0
x
x0
x
3、函数fxy在（x0y0）可偏导，则（D）
Afxy在（x0y0）可微；
Bfxy在（x0y0）连续；
Cfxy在（x0y0）在任何方向的方向导数均存在；D以上全不对。
4、
x2y2
的二重极限和二次极限各为（B）
fxy
x2y2xy2
A、0，0，0；B、不存在，0，0，；C、0，不存在，0；D、0，0，不存在。
5、设
z
x
ey
，则xz

y
z
（

A
）
xy
A、0；B、1；C、1；D、2。
二、计算题（50分，每小题10分）
1、证明函数
xy
f

x
y


x2y2
0
该点不可微；
在（0，0）点连续且可偏导，但它在
x2y20
x2y20
xx
2、设fxe2ddt求fxfx；
0t
3、
设有隐函数
F

xz

yz


0
其中
F
的偏导数连续求
zx
、
zy
；
4、计算excosydxsi
ydy，其中C是任一条以为A00起点、Bab为终点的光C
滑曲线；
5、计算zdS，其中为zx2y2在z1的部分；

4
三、验证或解答（满分24分，每小题8分）
1、验证曲线积分
与路线无关，并求被积表达式的原函数；
Lyzdxzxdyxydz

2、说明对任意0ex2si
tdx关于t0均一致收敛；
0
f3、验证函数
2xy
f
x
y


x2

y2
x2y20
0x2y20
在原点（0，0）分别对每个自变数x或y另一个看作常数都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连
续
四、（11
分）求由方程组
xyx3y3

z0
确定的隐函数
z310
y

yx
z

zx在点P112
处的
一阶导数。
f部分题目参考答案：二、1、证明：
0xyx2y2
（4分）
xy
lim
xy00
0所以函数在（0，0）点连续，
xyx2y2
（3分）又
lim
0

，
0
fx00
fy00
存在切等于
0，（4
分）但
lim
xy不存在，
x0x
xy00x2y2
故函数在（0，0）点不可微（3分）
二、2、解
由于
xx
xx
x
，所以
fxe2ddtfxe2dxdt00ex2dtxex2
0t
0t
0
fx

xtet2dt
1
x
et2dt2

1et2
x

1ex2


1
0
20
202
2
二、3、解法1由隐函数、复合函数求导法
z
F1

1z
zF1
x
F1


xz2


F2


yz2

xF1yF2
z
F2

1z
zF2
y
F1


xz2


F2


yz2

xF1yF2
解法2利用全微分将隐函数方程两边取全微分得
F1d

xz


F2d

yz


0
，
F1

zdxr