xdzz2

F2

zdyz2
ydz

0
dz

zF1dxxF1
zF2dyyF2
，故
zx

zF1xF1yF2
由此可见用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径
zy

zF2xF1yF2

二、4、解
令Xexcosy，Yexsi
y，则
Y
X

exsi
y故被积表达式
xy
fexcosydxsi
xdy一定有原函数，注意到dexcosyexcosydxsi
xdy知
uxyexcosy是excosydxsi
xdy的一个原函数，故由定理2113，有
excosydxsi
ydyC
ex
cos
y
ab
00
eacosb1
二、5、解
曲面

在
x0y
平面上的投影区域
Dxy
xy
x2

y2


12
2

，而
z2xz2y，于是曲面的面积微元xy
dS
1zx2
zy
2
d
14x24y2d
所以zdSx2y214x24y2d

Dxy
2
d
1
2r2
14x2rdr
0
0
（在极坐标系下计算）2
14
1
t
14t
r2t
02
2u4u2du12u14t
81
60
三、1、解
由于
P

y

zQ

z

x
R

x

y
P

Q

Q

R

R

P
所
1
yxzyxz
以曲线积分与路线无关现在求
取
uxyzyzdxzxdyxydzM0M
M0M为沿平行于x轴的直线到M1xy0z0，再沿平行于y轴的直线到M2xyz0，最后沿
平行于z轴的直线到Mxyz于是
x
y
z
uxyzy0z0dsz0xdtxydr
x0
y0
z0
y0z0xy0z0x0z0xyz0xy0xyzxyz0
xyyzxzc
其中cx0y0x0z0y0z0是一个常数，若取M0为原点，则得uxyzxyxzyz
f三、2、解
当x1时，ex2si
t
ex2

e
1ex2

ex
1x2


又
1
1x2
dx
收敛，所以

1
ex2si
tdt关于t0一致收敛而积分ex2si
tdt是定积分，所以
1
0

ex2si
tdx关于t0一致收敛
0
三、3、证明
yRxR分别有limx0
f
x
y

lim
x0
2xyx2y2
0
f0y，与
lim
y0
fxy

2xy
lim
y0
x2

y2

0

fx0，即
fxy在原点（0，0）分别对x或y都连续
2xy
2x2
当x
y时，却有limx0
fxylimx0
x2
y2
limx02x2
1
0
f00，即
fxy在原
y0
y0
点（0，0）不连续（其实fxy在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）
四、解方程两边对x求导有
1yxzx013x23y2yx3z2zx02
13z22有yxz2x2，代入（1）有：zxx2y2，所以y11，
z2y2
z2y2
z10
fr