立体几何练习题
1．在直四棱住ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点
D1
Ⅰ求证：平面AD1E平面BGFⅡ求证：D1E面AEC

A1
F

2．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为AB的中点．1求证：AC平面BDD1（2）求点B到平面A1EC的距离
DGA
…
D1A1
C1B1
EC
B
C1B1
D
C
A
EB

3如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABCACB90，AB2BC1AA13．
（Ⅰ）求三棱锥A1AB1C1的体积；
A
A1
（Ⅱ）若D是棱CC1的中点，棱AB的中点为E，
证明DE平面AB1C1
C
D
C1
B
B1

4．如图，在棱长均为2的三棱柱ABCDEF中，设侧面四边形FEBC的两对角线相交于O，若BF⊥平面AEC，
ABAE
D
A

1求证：AO⊥平面FEBC；2求三棱锥BDEF的体积
F
OE
CB
f5如图，在体积为1的三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ACAB，ACAA11，E为线
段AB上的动点
C1
（Ⅰ）求证：CCAA11CC11EP；
C
（2）线段
AB
上是否存在一点
E，使四面体
EAB1C1
的体积为
16
若存在，请确定点
E
的位置；若不存在，请说明
理由
A1
B1
6．已知三棱柱ABCA1B1C1的直观图和三视图如图所示，其主视图俯视图ΔA1B1C1中，B1C14，A1C13，A1B15，D是AB的中点。
BB1A1A
和侧视图A
A1ACC1
均为矩形，其中
E
B
AA14。
（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。
7如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA面ABCD，点E是PD的中点。
（Ⅰ）求证：ACPB（Ⅱ）求证：PB平面AEC
8．如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1AB3，点F是PD
的中点，点E在CD上移动。
（1）
求三棱锥EPAB体积；
（2）

（3）
当点E为CD的中点时，试判断EF与
平面PAC的关系，并说明理由；
（4）
求证：PEAF
P
AB
F
DEC
9．如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E，F，G
分别为PC、PD、BC的中点．
（
1
）
求
证
：
fPAEFGGC平面PEFPEFGPABCDPAABCDABCDADBCBADBCP2ADABPDPB
如图1ABC是等腰直角三角形ACBC4ACB90EF分别是ACAB的
EAEPCDE中点将AEF折起使点A到达A位置且A在平面BCEF上的射影恰为点E如图2
1求证EFAC2求点F到平面ABC的距离

D
C
C

B
A
A
B
图6

E
F
C
B
图1
E
F
图2
A
12．如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图C尺寸如图所示）。
（Ⅰ）求四棱锥PABCD的体积；（Ⅱ）若G为BC上的动点，求证：AEr