f20．（本小题满分13分）设函数fxx9x，对于任意给定的m位自然数
0amam1字，a2是十位数字，），定义变换A：A
0fa1fa2
1A
0，
2A
1，
a2a1（其中a1是个位数
记fam并规定A00．
，
kA
k1，
．
（Ⅰ）若
02015，求
2015；（Ⅱ）当m3时，证明：对于任意的mmN位自然数
均有A
10m1；（Ⅲ）如果
010mmNm3，写出
m的所有可能取值（只需写出结论）
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f北京市西城区20142015学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准
20151一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．C5．C2．D6．D3．A7．B4．C8．A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．111．17413．96注：第10，12题第一问2分，第二问3分三、解答题：本大题共6小题，共80分其他正确解答过程，请参照评分标准给分15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为fx23si
10．
x2y21416112．2
5
π3
14．13
xxxcoscos442xx3si
cos22xπ2si
，26
2分4分
所以T
2π4π12
6分
故函数fx的最小正周期为4π
πxππ≤≤2kπ，22624π2π解得4kπ，≤x≤4kπ33
由题意，得2kπ所以函数fx的单调递增区间为4kπ分（Ⅱ）解：如图过点B作线段BC垂直于x轴于点C由题意，得AC
4π2π4kπkZ33
9
y
BOCA
3T3π，BC2，4
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x
f所以ta
BAO
BC2AC3π
13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p
1q131，4
2分
又因为p所以q分
5．12
3
（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则CABUABUAB，且A，B独立由上表可知，PA
1，PBp2
4分
所以PCPABPABPAB
5
分

112
p
1p2
12
p
11p22
6
分因为PC11p4，225所以p分又因为p所以p≤23
35
7
1q1，q≥0，3
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f所以3p≤253分
8
（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票r