理计算命中60发到100发的概率。
解：设X表示400发炮弹的命中颗数，那么X服从B40002EX80，DX64
f由中心极限定理：X服从正态分布N8064P60X100P25X808252φ
练习：袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。
九、最大似然估计例：设总体X的概率密度为
1x0x1
fx0

其他
其中未知参数1，X1X2X
是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求
的估计量。

解：设似然函数L1xi0xi1i12
i1
对此式取对数，即：
l

L


l

1


i1
l

xi
且
dl
Ld



1


i1
l

xi
令dl
L0可得1
d


，此即的极大似然估计量。l
xi
i1
例：设总体X的概率密度为
f
x

axa1exa

x00a0
0x0
据来自总体X的简单随机样本X1X2X
，求未知参数的最大似然估计量。
解：由X

f
x

axa1exa

0
x0x0
得总体X的样本X1X2X
的似然函数





Lx1x2x

axea1xiai
a
exp
xia
xa1i
i1
i1
i1
再取对数得：



l
L
l
axiaa1l
xi
i1
i1
f再求l

L对
的导数：
dl
Ld

a
a


i1
xia
令
dl
Ld

a
a


i1
xia

0，得



xia
i1
所以未知参数的最大似然估计量为



。
xia
i1
练习：设总体
X
的密度函数为
f
x


x1
0x1
0
0others
X1X2…X
是取自总体X的一组样本，求参数α的最大似然估计
十、区间估计总体X服从正态分布Nμσ2X1X2…X
为X的一个样本
1：σ2求μ的置信度为1α置信区间


Xu

Xu


2：σ2未知求μ的置信度为1α置信区间
Xt
1
S


X

t


1
S

3：求σ2置信度为1α的置信区间

1S2
1S2
2
1
21
1
2
2
例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计
算如下：x16267s21843。求该校女生平均身高的95％的置信区间。
解：TXut
1由样本数据得
10x16267s21843005S
查表得：t22622故平均身高的95％的置信区间为
fs
s
xt0059

xt0059
1596016574

例：从总体X服从正态分布Nμ，σ2中抽取容量为10的一个样本，样本方差S2＝007试求总体方差σ2的置信度为095的置信区间。

1S2解：因为
2
2
1所以2的95的置信区间为

1S2
1S2


2
2


1

1
2
2


1


其中S2＝007

2


1

20025
9

19023
1
2


1

20975
9

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