解：f′x
∫
x
1
12tftdtx，试求fx．t2
12xfx1，f11．．．．．．．．．．．．．．．．．．．分）且．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1x2∫
2x1
fxe
x2
dx
∫1e
∫
12x
x2
dx
dxC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3
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fx2ex∫
1
111exdxCx21Cex．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x2
由f11，C0
∴fxx2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（
小题，．四、应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）应用与证明题（证明题25．设平面图形由曲线yx，y
1和x2所围成，试求该平面图形的面积以及该平面x
图形绕ox轴旋转所生成的旋转体的体积Vx．解：A
∫
2
1
1．．．．．．．．．．．．．（2xdx．．．．．．．．．．．．．．分）x
21
y
1x2l
x2

3l
2．．．．．．．．．分）．．．．．．．．（42
O
21．．．．．．．．．．．．．（6Vxπ∫x22dx．．．．．．．．．．．．．．分）1x
1
2
x
11211ππx31．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（73x6
26．设fx在01上连续，在01内可导，且f12点ξ∈01使得f′ξfξ0。
x证明：令证明：Fxefx
∫
120
ex1fxdx，证明至少存在一
x∈01．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
由积分中值定理得到F1ef1e2
∫
120
1ex1fxdxe2eη1fη02
1eηfηFη，η∈0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2
对Fx在η1上应用罗尔中值定理，得到ξ∈η101，使得F′ξ0．．（5分）．．而F′xexf′xfx，因此f′ξfξ0．．．．．．．．．．．．．．分）．．．．．．．．．．．．．．（7
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