专题：导数及其应用二（文）
12018新课标III文21已知函数fx
ax2x1．ex
1处的切线方程；⑴求由线yfx在点0，
⑵证明：当a≥1时，fxe≥0．
2ax1eaxx1eax2axx2ax2x1解答：（1）由题意：fx得fx，xx2eeex
x2x2
∴f0
22，即曲线yfx在点01处的切线斜率为2，∴y12x0，即1
2xy10；
（2）证明：由题意：原不等式等价于：e
x1
ax2x10恒成立；令gxex1ax2x1，
∴gxex12ax1，gxex12a，∵a1，∴gx0恒成立，∴gx在上单调递增，∴gx在上存在唯一x0使gx00，∴e0
x1
2ax010，即
ex012ax01，且gx在x0上单调递减，在x0上单调递增，∴gxgx0
又gx0e0
x1
ax02x01ax0212ax02ax01x02，
111111gea1，∵a1，∴0ea1e1，∴x0，∴gx00，得证aa
综上所述：当a1时，fxe0
122018新课标II文21已知函数fxx3ax2x1．3


（1）若a3，求fx的单调区间；（2）证明：fx只有一个零点．
132解：（1）当a3时，f（x）x3x3x3，f′（x）x26x3．3
令f′（x）0解得x323或x323．当x∈（∞，323）∪（323，∞）时，f′（x）0；当x∈（323，323）时，f′（x）0．故f（x）在（∞，323），（323，∞）单调递增，在（323，323）单调递减．
1
fx33a0．xx1x2x22x3x3≥0，仅当x0时g′（x）0，所以g（x）在（∞，设gx23a，则g′（x）x2x12xx1
（2）由于x2x10，所以fx0等价于
2
∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
112112又f（3a1）6a2a6a0，f（3a1）0，故f（x）有一个零点．3663
综上，f（x）只有一个零点．
32018新课标I文21已知函数fxaexl
x1．⑴若x2是fx的极值点．求a，并求fx的单调区间；
1⑵证明：当a≥，fx≥0．e
x解答：（1）fx定义域r