1
2x1
2x1
2x12
2
1
1
∵x1，∴x10，∴x122x12
2
2
2x1
2x1
2
2
1

2，当且仅当x12

2x1
时，即x
12
2
2
时等号成立．∴y21，∴原函数的值域为21．
2
2
f（9）（法一）方程法（函数有界性）：原函数可化为：si
xycosx12y，
∴1y2si
x12y（其中cos1si
y），
1y2
1y2
∴si
x12y11，∴12y1y2，∴3y24y0，∴0y4，
1y2
3
∴原函数的值域为04．3
（法二）数形结合法：可看作求点21与圆x2y21上的点的连线的斜率的范围，解略．
例2、若关于x的方程22x323a有实数根，求实数a的取值范围．（综合）
解：原方程可化为a22x323，
令t2x3，则0t1，aftt223，又∵aft在区间01上是减函数，
∴f1ftf0，即2ft1，故实数a的取值范围为：2a1．
yx2例3、求函数x3的值域。（换元法、不等式法）
解：令tx2t0，则x3t21
yt11
t21t12
0y1
（1）当t0时，
t，当且仅当t1，即x1时取等号，所以
2
（2）当t0时，y0。
综上所述，函数的值域为：
0
12

注：先换元，后用不等式法
【拓展练习】（共11题，附答案）一、选择题1、下列函数中，值域是（0，∞）的函数是
A．y15x1
B．y12x
C．y1x12
D．y11x3
2、已知fx2x36x2a（a是常数），在22上有最大值3，那么在22上的最小值是
A．5
B．11
C．29
D．37
3、已知函数yx22x3在区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是
fA、1，∞）B、0，2C、（∞，2D、1，2
4、（04年天津卷文6理5）若函数fxlogax0a1在区间a2a上的最大值是最小值的3倍，
则a
A24
B22
C14
D12
5、（04年湖北卷理7）函数fxaxlogax1在01上的最大值与最小值之和为a则a的值为
（A）14
（B）12
（C）2
（D）4
6、若x2y21，则y2的最小值是__________xy的最大值是______________
x1
34
7、已知函数ylgax22x1的值域为R，则实数a的取值范围是_____________
8、下列函数的值域分别为：
（1）
（2）
（3）
（4）

ee（1）y
x1x1
（2）y025x22x（3）y3xx3
（4）yx25x24
9、已知函数
f
x

2x2x2
bx1
c
b

0的值域为13，求实数bc
的值。
10、已知二次函数fxax2bxa0满足条件：f5xfx3且方程fxx有等根，⑴求fx的解析式；⑵是否存在实数m
m
，使得fx的定义域为m
，值域为3m3
。
11、已知函数fxx22xax1x
（1）
当a1时，求函数r