的特征值（1m），
5mb1EI
其余符号意义同前。
（411）
从桩的挠曲微分方程中不难看出，桩的横向位移与截面所在深度、桩的刚度
（包括桩身材料和截面尺寸）以及桩周土的性质等有关，是与桩土变形相关的
系数。
式（411）为四阶线性变系数齐次常微分方程，在求解过程中注意运用材料
力学中有关梁的挠度xz与转角z、弯矩Mz和剪力Qz之间的关系，即
z

dxzdZ

Mz

EI
d2xzdZ2

Qz

EI
d3xzdZ3

（412）
就可用幂级数展开的方法求出桩挠曲微分方程的解（具体解法可参考有关专著）。
若地面处即Z0处，桩的水平位移、转角、弯矩和剪力分别以x0、0、M0和Q0
表示，则桩挠曲微分方程（式411）的解即桩身任一截面的水平位移xz的表达式
为
xz

x0A1

0
B1

M0EI2
C1

Q03EI
D1
（413）
利用式（413），对xz求导计算，并通过归纳整理后，便可求得桩身任截面的转
角z、弯矩Mz及剪力Qz的计算公式：
z
x0A2
0
B2

M02EI
C2

Q03EI
D2
（414）
fMZ2EI

x0A3
0
B3
M02EI
C3
Q03EI
D3
QZ3EI

x0A4
0
B4

M02EI
C4

Q03E
I
D4
（415）（416）
根据土抗力的基本假定zxCxzmZxz，可求得桩侧土抗力的计算公式：
zx
mZxz

mZ

x0
A1

0a
B1

M0a2EI
C1

Q0a3EI
D1
（417）
以上公式（414）、（415）、（416）、（417）中，Ai、Bi、Ci、Di（i1～4）为16
个无量纲系数，根据不同的换算深度zZ已将其制成表格由附表可查用。
以上求算桩的内力、位移和土抗力的式（413）～（417）等五个基本公式
中均含有x0、0、M0、Q0这四个参数。其中M0、Q0可由已知的桩顶受力情况
确定，而另外两个参数x0、0则需根据桩底边界条件确定。由于不同类型桩的桩
底边界条件不同，应根据不同的边界条件求解x0、0。
摩擦桩、柱承桩在外荷作用下，桩底将产生转角位移h时，桩底的抗力情况
如图48所示，与之相应的桩底弯矩值Mh为
MhA0xdNxA0xxhC0dA0hC0A0x2dA0hC0I0
式中：A0桩底面积；
I0桩底面积对其重心轴的惯性矩；
C0基底土的竖向地基系数，C0m0h。这是一个边界条件。此外，由于忽略桩与桩底土之
间的摩阻力，所以认为Qh0，即为另一个边界条件。
将MhhC0L0及Qh0分别代入式415、416中得
Mh
2EIx0A3
0
B3
M02EI
C3
Q03EIr