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2012年全国高中数学联赛一试
参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．
1设P是函数yx2（x0）的图像上任意一点，过点P分别向x
直线yx和y轴作垂线，垂足分别为AB，则PAPB的值是．
2设ABC的内角ABC的对边分别为abc，且满足acosBbcosA3c，5
则ta
A的值是ta
B
3设xyz01，则Mxyyzzx的最大值是
4抛物线y22pxp0的焦点为F，准线为ｌ，AB是抛物线上的两个动点，且满足AFB．设线段ＡＢ的中点M在ｌ上的投影为N，
3则MN的最大值是
AB
5．设同底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球．若正三棱锥PABC的
侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是．
6设fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fxx．若对任意的xaa2，
不等式fxa2fx恒成立，则实数a的取值范围是．
7满足1si
1的所有正整数
的和是．4
3
8某情报站有ABCD四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上
周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用
Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
9（本小题满分16分）已知函数fxasi
x1cos2xa31aRa0
2
a2
（1）若对任意xR，都有fx0，求a的取值范围；
（2）若a2，且存在xR，使得fx0，求a的取值范围．
10（本小题满分20分）已知数列a
的各项均为非零实数，且对于任意的正整数
，都有
a1a2a
2a13a23a
3
19
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（1）当
3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1a2a3
（2）是否存在满足条件的无穷数列a
，使得a20132012若存在，
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11（本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OBOD6．
（1）求证：OAOC为定值；
（2）当点A在半圆x22y24（2x4）上运动时，求点C的轨迹．
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、（本题满分40分）
如图，在锐角ABC中，ABACMN是BC边上不同的两点，使得
BAMCAN设ABC和AMN的外心分别为O1O2，求证：O1O2r