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2012年全国高中数学联赛一试
参考答案及详细评分标准一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.
1设P是函数yx2(x0)的图像上任意一点,过点P分别向x
直线yx和y轴作垂线,垂足分别为AB,则PAPB的值是.
2设ABC的内角ABC的对边分别为abc,且满足acosBbcosA3c,5
则ta
A的值是ta
B
3设xyz01,则Mxyyzzx的最大值是
4抛物线y22pxp0的焦点为F,准线为l,AB是抛物线上的两个动点,且满足AFB.设线段AB的中点M在l上的投影为N,
3则MN的最大值是
AB
5.设同底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球.若正三棱锥PABC的
侧面与底面所成的角为45,则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是.
6设fx是定义在R上的奇函数,且当x0时,fxx.若对任意的xaa2,
不等式fxa2fx恒成立,则实数a的取值范围是.
7满足1si
1的所有正整数
的和是.4
3
8某情报站有ABCD四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上
周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用
A种密码的概率是.(用最简分数表示)
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.
9(本小题满分16分)已知函数fxasi
x1cos2xa31aRa0
2
a2
(1)若对任意xR,都有fx0,求a的取值范围;
(2)若a2,且存在xR,使得fx0,求a的取值范围.
10(本小题满分20分)已知数列a
的各项均为非零实数,且对于任意的正整数
,都有
a1a2a
2a13a23a
3
19
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(1)当
3时,求所有满足条件的三项组成的数列a1a2a3
(2)是否存在满足条件的无穷数列a
,使得a20132012若存在,
求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.11(本小题满分20分)
如图,在平面直角坐标系XOY中,菱形ABCD的边长为4,且OBOD6.
(1)求证:OAOC为定值;
(2)当点A在半圆x22y24(2x4)上运动时,求点C的轨迹.
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、(本题满分40分)
如图,在锐角ABC中,ABACMN是BC边上不同的两点,使得
BAMCAN设ABC和AMN的外心分别为O1O2,求证:O1O2r
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