2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请
严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评
分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1设集合A2013，集合BxxA2x2A则集合B中所有元素的和为

答案
5
解易知B2013，当x23时，2x227，有2x2A；而当
x01时，2x221，有2x2A因此，根据B的定义可知B23
所以，集合B中所有元素的和为52在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y24x上，满足OAOB4，F是抛
物线的焦点则SOFAsOFB

答案
2
解
点F
坐标为10设
Ax1y1，Bx2y2，则x1

y124
，
x2

y224
，故
4

OAOB

x1x2

y1y2

116

y1y2
2

y1y2
，
即
116

y1
y2
82

0，故
y1y2

8

11
fSOFASOFB


12
OF

y1



12
OF

y2


14

OF
2
y1y2
2
3在ABC中，已知si
A10si
Bsi
C，cosA10cosBcosC则ta
A的值为

答案
11
解由于si
AcosA10si
Bsi
CcosBcosC10cosBC10cosA，所以
si
A11cosA，故ta
A11
4已知正三棱锥PABC底面边长为1，高为2，则其内切球半径为

2
答案
6
解如图，设球心O在面ABC与面ABP内的射影分别为H和K，AB中点为M，内
切球半径为
r
，则
P、K、M
共线，
P、O、H
共线，
PHM

PKO

2
，且
OHOKrPOPHOH2r，
P
MH3AB3PMMH2PH21253
6
6
12
6
KO
于是有
A
C
rOKsi
KPOMH1
2rPO
PM5，
HM
B
r2解得6
5设ab为实数，函数fxaxb满足：对任意x01，有fx1则ab的最大值
为

1
答案
4
解易知af1f0，bf0，则
ab

f
0
f
1
f
0



f
0
12
f
2
1


1
4
f
12

1
4
f
12

14

11
f当
2
f
0

f
1

1，即a

b

12
ab时，

14
故ab的最大值为
14

6从12，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为

232
答案
323
解设a1a2a3a4a5取自12，…，20，若a1a2a3a4a5互不相邻，则
1a1a21a32a43a5416，
由
此
知
从
12，…，20中取5个互不相邻的数的选法与从12，…，16中取5个不同的数的选法相同，即
C156种所以，从12，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概r