106635，所以有99的把握认为两种生产方20202020
式的效率有差异19（12分）
解：（1）由题设知平面CMD⊥平面ABCD交线为CD因为BC⊥CDBC平面ABCD所以
BC⊥平面CMD故BC⊥DM
因为M为CD上异于C，D的点且DC为直径，所以DM⊥CM
又BCCMC所以DM⊥平面BMC
而DM平面AMD故平面AMD⊥平面BMC
（2）以D为坐标原点DA的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz
当三棱锥MABC体积最大时，M为CD的中点由题设得D000A200B220C020M011，
AM211AB020DA200
设
xyz是平面MAB的法向量则



AM0AB0
即
2xy2y0

z

0
可取
102
19
fDA是平面MCD的法向量因此
cos
DA
DA5，
DA5
si
DA25，5
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是2
5

5
20（12分）
解：（1）设
Ax1
y1Bx2
y2，则
x124

y123
1
x224

y223
1
两式相减，并由y1y2k得x1x2
x1x2y1y2k0
4
3
由题设知x1x21y1y2m，于是
2
2
k3①4m
由题设得0m3，故k1
2
2
（2）由题意得F10，设Px3y3，则
x31y3x11y1x21y200
由（1）及题设得x33x1x21y3y1y22m0
又点P在C上，所以m3，从而P13，FP3
4
2
2
于是
FA
x112y12
x1
12

31
x124


2

x12

同理FB2x22
所以

FA



FB

4

12

x1

x2


3

故2FPFAFB，即FAFPFB成等差数列
20
f设该数列的公差为d，则
2

d

FB



FA

12

x1

x2

12
x1x224x1x2②
将m3代入①得k14
所以l的方程为yx7，代入C的方程，并整理得7x214x10
4
4
故
x1

x2

2
x1x2

128
，代入②解得
d

32128

所以该数列的公差为3
21或3
21

28
28
2112分
解：（1）当a0时，fx2xl
1x2x，fxl
1xx1x
设函数gx
f
x
l
1xx1x
，则gx

x1x2

当1x0时，gx0；当x0时，gx0故当x1时，gxg00，
且仅当x0时，gx0，从而fx0，且仅当x0时，fx0
所以fx在1单调递增学
又f00，故当1x0时，fx0；当x0时，fx0
（2）（i）若a0，由（1）知，当x0时，fx2xl
1x2x0f0，
这与x0是fx的极大值点矛盾
（ii）若a
0，设函数hx

fx2xax2
l
1x
2x2xax2

由于当xmi
11时，2xax20，故hx与fx符号相同a
又h0f00，故x0是fx的极大值点当且仅当x0是hx的极r