BAA121mmm
性质26矩阵二项式定理若BA可交换则kkmm
BA
CBAm
0kkm∑证明对m用数学归纳法同性质25即可证得
性质277设BA可交换则有
1若BA均为对合矩阵则AB也为对合矩阵
2若BA均为幂等矩阵则ABABBA也为幂等矩阵
3若BA均为幂幺矩阵且使EAkEBk则AB也为幂幺矩阵
4若BA均为幂零矩阵则ABBA均为幂零矩阵证明1因为BA都是对合矩阵故
EA2EB2
又BA可交换则
BAAB
所以
EABABAB2
故AB是对合矩阵
2因为BA皆为幂等矩阵故
AA2
BB2
当BAAB时有
ABAABABAABBAABABAB2
故AB也是幂等矩阵
f2ABBAABBAABBA
ABABBABBAABBABABABAA2222AABBABBABABBABAABBAAABABABABBABABABAABBA
3因为EAkEBk且BA可交换
所以
ABABABABk
BABBAA
kkBA
EE
E
得证AB是幂幺矩阵
4设OAlOA1l≠OBkOB1l≠11≥≥kl令mi
klh则
OBAABhhh
令klm则
BAmOBA
Ckkmm
0kkm∑证毕性质28若BA可交换且A是可逆的则BA1也可交换证明因为BAABA可逆1A存在故
BAAABA11BAAB1
BABAAABA1111
即BA1可交换
f性质29若BA可交换A且是正交阵则BAT也可交换证明因为BAABA是正交阵
故
BEBABABAATT
BAABAABATTTT得证BAT也可交换
性质210形如
221211aaaA0且a11a22的二阶上三角阵的交换阵仍是二阶上三角阵
221211bbbB0且b11b22其中aijbij211ji为任意实数则BA可交换
证明
221211aaaAB0221211bbb0
babababa22222212121111110221211bbbBA0221211aaa0
babababa22222212121111110又a11a22b11b22所以
BAAB
3几类常用的可交换矩阵
定理318
1设BA至少有一个为零矩阵则BA可交换
2设BA至少有一个为单位矩阵则BA可交换
3设BA至少有一个为数量矩阵则BA可交换
4设BA均为对角矩阵则BA可交换
f5设BA均为准对角矩阵则BA可交换6设A是A的伴随矩阵则A与A可交换7设A可逆则1A与A可交换证明
1对任意的矩阵A均有OAAOO表示零矩阵2对任意的矩阵A均有EAAEE表示单位矩阵3对任意的矩阵A均有EAEAkkk为任意实数4、5显然成立6EAAAAA7EAAAA11
4可交换矩阵的应用
例41
阶数量矩阵能与所有的
阶矩阵可交换即对任意r