从而
BAAB
定理125设BA均为反对称矩阵则BA可交换的充要条件是AB为对称矩阵
f证明因为AB均为反对称矩阵故有AATBBT
又因为BA可交换故有
BAAB
从而
BAABBAABABTTT
反之若AB为对称矩阵则
ABBAABABABABTTT
所以BA是可交换的
定理1266设BA均为对称正定矩阵则BA可交换的充要条件均为AB对称正定矩阵
证明充分性由定理123可得下面证明必要性
因为BA均为对称正定矩阵故有可逆矩阵PQ使得
TPPATBBB
于是
TTQQPPAB
T
TTQPQPABPP1
所以ABPP1为对称正定矩阵其特征值全为正数
而AB与ABPP1相似从而AB的特征值也全为正数
因此AB为对称正定矩阵
2可交换矩阵的性质
高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质
f性质21若BA可交换则BABABABABA22证明因为
22BBAABABABA
22BBAABABABA
由已知
BAAB
可得
BABABABABA22
性质22若BA可交换则222BABABA2
±±证明由矩阵运算法则可得
BABABA2
22BBAABA由已知
BAAB
可得
2BA222BABA
同理可得
2BA222BABA
性质23若BA可交换则kkk
BAABABABmm证明由已知BAAB可得
kkkBAABAABBABABABAB
同理可得
ABABBBBBABBABBABmm
性质24若BA可交换则ABBAff其中Bf是B的多项式即A与B的多项式可交换
f证明因为A与B的任意多项式Af与Bf相乘展开的每一项都是kA与mB的形式其中mk皆为正整数故要证这个命题只要证kA与mB可交换即可
由性质23可得若BA可交换kA与mB可交换从而可证得A与B的多项式可交换
性质25若BA可交换则121mmmmmBBAABABABABBAA121mmm证明运用数学归纳法
1当2m时由性质22等式成立
BABABA22
2假设1km等式成立即有
23211kkkkkBBAABABA
3当km时由已知BAAB有
ABBABABABA1111kkkkkkABBABABBAABA11232kkkkk
kkkkkkBABABBABAA3322221BA1kAB1k
由性质23有
11kkABAB11kkBABAABABmm
因此上式可以转化为
kkBAABBABABABBABAA113322221kkkkkkkk
kkkkkkkBABABABBABAA2211221BABBABABAA121kkk
BABBAA121kkk
即
mmBABABBAA121mmm
f121mmmBBAABA121mmmBBAABA
即可证得
121mmmmmBBAABABA
BABr