一个
阶矩阵A都有
EAEAkk其中E为
阶单位矩阵k为一常数
证明由矩阵的数量乘法的运算律可得
EAkAEEAEAkkk
例429如果矩阵A与所有的
阶矩阵可交换则A一定是数量矩阵即kEA其中E为
阶单位矩阵k为一常数
证明记

ij
aA用ijE将第i行第j列的元素表示为1而其余元素为零的

矩阵
因为A与任何的矩阵均可交换所以A必与Eij可交换由定理312得
AEAEijij
所以jj
iiaa
ji211
以及0ija
jiji21≠
f故A是数量矩阵
例43若矩阵BA都与C可交换则AB
BmA也都与C可交换证明已知CAACCBBC那么
CBmCA
BCmACC
BmA
ABCACBBCACAB
得证AB
BmA都与C可交换
例44101由已知设矩阵
aaadiagA21为对角矩阵其中ji≠时jiaa≠
ji21则BA可交换的充要条件是B为对角矩阵
2由已知设rrEaEaEadiagA
21为准对角矩阵其中ji≠时jiaa≠
ji21iE是i
阶单位矩阵
∑r
1
ii
则BA可交换的充要条件是B为准
对角矩阵
证明1若BA皆为对角矩阵则由定理134知BA可交换
若B与
aaadiagA
21可交换ji≠时jaai≠
ji21设

ij
bB

ij
cAB

ij
dBA
因为A为对角矩阵所以
ba
cijiijba
dijjij
ji21
因为BAAB可得
dcijij
ji21
得
0baa
ijji
而ji≠时jiaa≠
ji21故0ij
b
ji21
所以B为对角矩阵
f2仿1不难证2
利用矩阵的可交换性我们还可以使一些矩阵的运算简化尤其是求矩阵的
次幂下面举例说明
例45计算

1011
是正整数
解设BEA
001010011011

则

0000001000102B
因为BE可交换所以由二项式定理可得




CCBBEBEEBEA2
2211
EBE
BE

00101001

101
即
1011
101
例46计算

1111
是正整数
解设BEA
011010011111
EB
1001011001102
BEBBBB23EEEBBB224
又EB可交换所以由二项式定理可得
f






CCCCBBEBEEBEA222110
BE




CCCCCC311
20BE1122

011021001211


11112222


即
1111
11112222


注意到以上两r