可交换矩阵的良好性质进一步促进和完善矩阵理论这对矩阵理论的研究具有重要的意义文中的矩阵如无特别说明均指
阶实方阵
1矩阵可交换成立的条件
11矩阵可交换成立的充分条件
A可交换
定理111设E
AB则B
A均可逆且互为逆矩阵故
证明当E
AB时B
BA
E
因此
BA
AB
A可交换
即B
f定理1122
1设BAABβα其中αβ为非零实数则BA可交换
2设mAEABα其中m为正整数α为非零实数则BA可交换
证明1由BAABβα可得EBEAαβEαβ
即
αβ
1EEBEAαβ故由定理111得
αβ
1EEAEBβα于是
EEBABAαβαββα
所以
ABBABAβα
得证BA可交换
2由mAEαAB得
EBAAα1m故由定理111得
EABA
α1m所以mAEBAα
因此可得
BAAB
即BA可交换
定理11331设A可逆若OAB或ABA或BAA则BA可交换
f2设BA均可逆若对任意实数k均有EBAAk则BA可交换
证明1若OAB由A可逆得
OABABAAB11从而
OBA
所以
BAAB
若ABA同理可得
EABABAAB11所以
BAAB
若BAA同理可得
EABAAABB11所以
BAAB
2证法一因为BA均可逆故由BkEAA得
AkEAB1
则
TTTTAkEABkEABA1
1TTTTkEAAkEAB
1kEAkAAABTTTTT
1
kEAkEAABTTTT
TTAB
TAB两边取转置可得
BAAB
f即BA可交换
证法二由BA均可逆可得
11
111AkEABkEABAEAAkEABk111
EAkAABk121
EAAkEABk1111AB
两边取逆可得
BAAB
即BA可交换
12矩阵可交换成立的充要条件
定理1214以下均是BA可交换的充要条件
1TTT
BAAB2
BAAB证明1分别由BAABTTT
BAAB两边取转置可证得2分别由BAAB
BAAB两边取伴随可证得定理122可逆矩阵BA可交换的充要条件是111
BAAB证明因为BAAB
故有
111
111BABAABAB即1A和1B是可交换的
反之因1A和1B可交换故有
f111111ABABBABA
两边求逆得到
BAAB
定理1235设BA均为对称矩阵则BA可交换的充要条件是AB为对称矩阵
证明设BA均为对称矩阵由于BAAB则
ABBAABABTTT
所以AB是对称的
反之注意到ABABT
所以BAABABABTTT
因此BA可交换
定理124A设为对称矩阵B为反对称矩阵则BA可交换的充要条件是AB为反对称矩阵
证明设AATBBT由于BAAB
所以
ABBAABABTTT
所以AB为反对称矩阵反之若AB为反对称矩阵则
BAABABABTTT
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