232等差数列的前
项和的性质
【学习目标】
1熟练掌握等差数列前
项和公式，等差数列前
项和的性质以及其与二次函数的关系；2在学习等差数列前
项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前
项和
公式求其通项公式【自学园地】
1等差数列的前
项和的性质：
已知数列a
是等差数列，S
是其前
项和．
1若m，
，p，q，k是正整数，且m＋
＝p＋q＝2k，则am＋a
＝ap＋aq＝2ak
2am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd
（3）S
S2
S
S3
S2
仍成等差，且公差为
2d（4）若项数为2
，则
①S奇与S偶中项数相等，且S偶S奇
d；
②
S奇


2
a1

a2
1


a

．
S偶

2
a2

a2


a
1
○3S2
a
a
1若项数为2
1，则
①S奇S偶
1da2
1a2
1
1da
；
②S奇
a
，S偶
1a
；
③S2
12
1a
；
④S奇

2
a1

a2
1

．
S偶


2
1
a2

a2
2


1
（5）两个等差数列a
，b
的前
项和S
，T
之间的关系为ab
＝TS22
－－11
6若数列a
，b
是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列pa
，a
＋p，
pa
＋qb
都是等差数列p，q都是常数，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2
2a
为等差数列其前
项和S
A
2B
．
3若数列
a

为等差数列


S


成等差．
f4等差数列的单调性的应用：
（1）当
a1

0
d

0
时，
S

有最大值，

是不等式
a
0a
10
的正整数解时取得；
（2）当a1

0
d

0
时，
S

有最大值，

是不等式
aa
1
0
0
的正整数解时取得．
（II）当数列中有某项值为0时，
应有两解．SmSm1am10．
5知三求二问题：等差数列数列前
项和公式中各含有4个元素：S
a1a
与
S
a1d，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前
项和公式，已知其
中3个量即可求出另外2个量．
【典例精析】
1（1）已知等差数列a
，a1a4a8a12a152，求S15．
（2）等差数列a
前m项和为30，且前2m项和为100，求其前3m项和．
（3）有一个项数为2
1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比．
（4）有一个项数为2
1的等差数列中若所有的奇数项的和是165，所有偶数项的和是150，
则项数
等于
（5）等差数列a
前12项之和为354，其中奇数项之和与偶数项之和的比为27：32，求
公差d．
（6）等差数列a
前
项和为S
，S
mSm
m
N且m
，求Sm

f2等差数列
a

和
b

的前


项和分别为
S

T

之比为
S
T


3
1，求a15
2
3
b15
及a
b

3等差数列a
中，S
为前
项和，a113S3S11，问此数列r