20192020学年高中数学第二章平面向量的坐标运算例题讲解素
材北师大版必修4
学习了向量的坐标表示后，我们可以把向量运算代数化将数与形紧密结合起来，从而使许多问题转化为我们熟知的数量运算，使问题得以简化下面举例说明平面向量的坐标运算在解几类题中的应用
一、两向量相等问题例1已知向量ux，y和向量vy，2yx的对应关系可用vfu表示，求证：对任意向量a，b及常数m，
，恒有fma
bmfa＋
fb成立．证明：设aa1，a2，bb1，b2，则ma
bma1
b1，ma2
b2，fma
bma2
b2，2ma22
b2ma1
b1，mfa
fbma2，2a2a1
b2，2b2b1
ma2
b2，2ma22
b2ma1
b1fma
bmfa
fb成立．点评：两个向量相等，对于用坐标表示的向量，就是这两个向量的坐标相同为应用题设条件，必须用坐标表示向量，通过坐标进行运算，从而解决问题
二、点的坐标问题例2如图1，已知正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为1，0，5，3，求C点的坐标．解：过D，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，由ABCD是正方形可知90．易知△DMA≌△ANB，MA3，DM4，即点D的坐标为2，4．
设Cx，y，则DCx2，y4，AB4，3．
由
DC

AB
，得
x

y

24

4，解得3，
x

y

2，故点7
C2，7
．
点评：解决本题的关键在于把握好向量相等或向量加、减运算的坐标表示与图形表示
之间的关系，运用“数形结合”的思想转化解题
f三、三点共线问题例3过原点O的直线与函数ylog8x的图象交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线交函数ylog2x的图象于C，D两点．求证：O，C，D三点在一条直线上．证明：设Ax1，log8x1，Bx2，log8x2，则OAx1，log8x1，OBx2，log8x2，
根据已知OA与OB共线，x1log8x2x2log8x10．又根据题设条件可知Cx1，log2x1，Dx2，log2x2，OCx1，log2x1，ODx2，log2x2．
x1log2x2x2log2x1x1log23x23x2log23x133x1log8x2x2log8x10，
OC与OD共线，即O，C，D三点在一条直线上．点评：本题将三点共线的证明转化为论证向量共线关系式通过构设点的坐标，改用向量的坐标运算来论证，十分简捷、新颖、巧妙
四、几何问题
例4已知△ABC的面积为14cm2，D，E分别为边AB，BC
上的点，且ADDBBEEC21，且AE交CD于P，求△APC
的面积．
解：如图2，以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系．设A0，0，B3a，0，C3b，3c，
则AD2AB2a，0，BE2BC23b3a，3c2b2a，2c，AEABBEa2b，2c，
3
33
DCDBBC3b2a，3c．
点A，Pr