20192020学年高中数学第二章平面向量的线性运算例题讲解素材北师大版必修4
例1一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北
500走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点。
（1）作出向量AB，BC，CD；
（2）求AD。
分析：解答本题应首先确立指向标，然后再根据行驶方向确定出有关向量，进而求解。解析：（1）如图所示。
（2）由题意易知，AB与CD方向相反，故AB与CD共线。又ABCD，∴在四边形ABCD中，ABCD且ABCD，∴四边形ABCD为平行四边形。故ADBC200（公里）。评注：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点。
例2
化简：ABCDACBD。
分析：该例为一基础题目，可有多种解法。
f解法1：原式ABCDACBD
ABDCCABD
ABBDDCCA
ADDA
0评注：该解法是将向量减法转化为加法进行化简的。解法2：原式ABCDACBDABACDCDBCBBC0评注：本解法是利用ABACCB，DCDBBC进行化简的。解法3：设O为平面内任意一点，则有原式ABCDACBD
OBOAODOCOCOAODOB
OBOAODOCOCOAODOB
0评注：本解法是利用MNONOM关系进行化简的。
例3
对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？
（1）把所有单位向量的起点平行移动到同一点P；（2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l的点P；（3）把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l的点P。分析：数学中的向量是自由向量，可以重新选择起点进行平移，只要平移前后两个向量相等即可。解析：（1）是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆；
f（2）是直线l上与P的距离为1个单位长的两个点；（3）是直线l。评注：本题是有关向量的平移变换、单位向量，以及集合等知识的综合题。
例4
已知非零向量e1和e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值。
分析：若ke1e2与e1ke2共线，则一定存在，使ke1e2（e1ke2）。解析：∵ke1e2与e1ke2共线，∴存在实数，使ke1e2（e1ke2），则
ke1k1e2。
由于e1和e2不共线，∴
k0，解得k1。k10
评注：本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于r