与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
x1111x4l
x4l
e3
故迭代xk14l
xk（k12）对任意初始值x112收敛。
对于初值x115，其迭代值分别为
x218959，x318331，x418423，x518409
由于x4
x5

00014

12
1013
，故
x5
18409作为近似值，已精确到了3位有效数字。
3
设有解方程123x2cosx0的迭代法x
1
243cosx

1证明x0R均有
lim

x


x（x为方程的根）。2此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。3
取x0
4
用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过103，列出各次迭代值。（和收敛性讨论）
解1：x42cosx，x2si
x21（x），故该迭代对任意
3
3
3
初值均收敛于方程的根x。
解2：由x42cosx，故有1042x42142。
3
3
3
33
3
x2si
x0，故该迭代的收敛速度是1阶的。3
解3取x04，代入迭代式，可计算出以下结果：
x135642，x233920，x333541，x433483，x533475
由于x5x400008103，取x33475可满足精度要求。
4设xx，maxx1，试证明：由x
1x
01，得到的序
列x
收敛于x。（收敛性证明）
证明：由xx知，方程xx有根。
x
1xx
xx
x2x
1x
1x0x
由01，当
时，有x
1x0，即序列x
收敛于x。
5
设方程3
3x2si
x
0在01内的根为x，若采用迭代公式x
1
1
23
s
i

x

，试
21
f2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
证明：x0

R
均有
lim

x


xx为方程的根；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
（迭代法和收敛性讨论）
解：迭代函数x12si
x3
x2cosx2，当x
3
3
故迭代在区间上整体收敛。
设
lim

x


x，则x
1
2si
x，且3
1042x1s2si
x42143
3
3
3
332
故x2cosx03
故该迭代的收敛速度为1阶的。
6方程x3x210在x015附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：
1
x1
1x2
，对应迭代格式：x
1
1
1x
2
2x31x2，对应迭代格式：x
131x
2
3
x2

x
1
1
，对应迭代格式：
x
1

1x
1
讨论这些迭代格式在x015时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格
式计算出x015附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较）
解：fxx3x21，x132
f110，，f310，故方程在13上有根x。
28
2
f5390，故方程在53上有根x。
464
42
f111490，故方程在113上有根x。
8512
82
对于迭代式（1）：x
1
1x2
，x


2x3
r