由D01，P48kk22＋－12，－4k42＋k1，Nx0三点共线知
4k
－4k2＋1－10－18k2－2＝x－0，解得4k2＋1－0
N42kk－＋21，0
4k2k－1－0所以MN的斜率为m＝4k＋24k－22k－1－2k＋1
4k2k＋1
2k＋1
＝22k＋12－22k－12＝4
则2m－k＝2k＋21－k＝12定值．
方法二设Px0，y0x0≠0，±2，则k＝x0y－02，
f直线AD的方程为y＝12x＋2，直线BP的方程为y＝x0y－02x－2，直线DP的方程为y－1＝y0x－01x，令y＝0，由于y0≠1可得Ny－0－x01，0，
y＝12x＋2，
联立
y＝x0y－02x－2，
解得M42yy00＋－2xx00＋－24，2y0－4yx00＋2，因此MN的斜率为
4y0m＝42yy00＋－22yxx00－0＋－x240＋＋2y0x－01＝4y20－48yy00＋y40x－0y10－x20＋4
＝4y20－8y0＋44yx00y0y－0－14－4y20＋4
＝2y0y＋0－x01－2
所以2m－k＝22y0＋y0－x0－12－x0y－02
＝2
y0－1x0－2－y02y0＋x0－22y0＋x0－2x0－2
＝2
y0－1x0－2－2y02－y02y0＋x0－2x0－2
x0－2
2y0－1＝
x0－2
1－2
2y0＋x0－2
4－x20－y0x0－2
x0－2
＝12定值．
题型三圆锥曲线中的探索性问题
例3xx福建已知曲线Γ上的点到点F01的距离比它到直线y＝－3的距离小2
1求曲线Γ的方程；
2曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N
以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B试探究：当点P在曲线Γ上运动点P
f与原点不重合时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．思维点拨1设Sx，y为曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足抛物线的定义，即可求曲线Γ的方程；2通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线Γ上运动点P与原点不重合时，线段AB的长度不变．解方法一1设Sx，y为曲线Γ上任意一点，依题意，点S到F01的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F01为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y2当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：
由1知抛物线Γ的方程为y＝14x2，设Px0，y0x0≠0，则y0＝14x20，由y′＝12x，得切线l的斜率k＝y′x＝x0＝12x0，所以切线l的方程为y－y0＝12x0x－x0，即y＝12x0x－14x20
由y＝12x0x－41x20，y＝0
得A12x00．
由y＝12x0x－41x20，y＝3
得M12x0＋x60，3．
又N03，所以圆心C14x0＋x30，3，半径r＝12MN＝14x0＋x30，
AB＝AC2－r2
f＝
r