≥130，当t＝3m2＋3＝3，即m＝0时取等号．
所以y1－y22≤1048＝9，即y1－y2的最大值为33＋2
所以△APQ面积的最大值为3，此时直线PQ的方程为x＝1
题型二圆锥曲线中的定点、定值问题
例2
在平面直角坐标系
xOy
x2y2中，已知椭圆9＋5＝1
的左，右顶点分别为
A，B，右焦点为
F设过点Tt，m的直线TA，TB与此椭圆分别交于点Mx1，y1，Nx2，y2，其中m0，y10，y201设动点P满足：PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；
2设x1＝2，x2＝13，求点T的坐标；
3设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点其坐标与m无关．1解设Px，y，由题意知F20，B30，A－30，则PF2＝x－22＋y2，PB2＝x－32＋y2，由PF2－PB2＝4，得x－22＋y2－x－32＋y2＝4，
化简，得x＝92故点P的轨迹方程是x＝92
2解将x1＝2，x2＝13分别代入椭圆方程，
f并考虑到y10，y20，得M2，53，N13，－290则直线MA的方程为y5－0＝x2＋＋33，即x－3y＋3＝0
3－0
直线NB的方程为
y－020
＝x1－3，即5x－6y－15＝0
－9－03－3
联立方程x5－x－3y6＋y－3＝150＝，0，解得x＝7，y＝130，
所以点T的坐标为7，130
3证明如图所示，
点T的坐标为9，m．
直线
TA
y－0x＋3的方程为m－0＝9＋3，
直线TB的方程为ym－－00＝x9－－33，
x2y2分别与椭圆9＋5＝1联立方程，
解得M3
80－m280＋m2
，804＋0mm2，
N3
m2－2020＋m2
，－202＋0mm2
直线MN的方程为
y＋202＋0mm2
x－3
m2－2020＋m2
40m
20m＝380－m23m2－20
80＋m2＋20＋m2
80＋m2－20＋m2
令y＝0，解得x＝1，所以直线MN必过x轴上的一定点10．思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种：1从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．2直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
xx江西椭圆C：xa22＋yb22＝1ab0的离心率e＝23，a＋b＝31求椭圆C的方程；2如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x
f轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m证明：2m－k为定值．
1解
因为
e＝
3c2＝a，
所以a＝2c，b＝1c
3
3
代入a＋b＝3得，c＝3，a＝2，b＝1故椭圆C的方程为x42＋y2＝1
2证明方法一因为B20，点P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝kx－2k≠0，k≠±12，①①代入x42＋y2＝1，解得P84kk22－＋21，－4k42＋k1直线AD的方程为y＝12x＋1②
①与②联立解得M42kk＋－21，2k4－k1r