：y2＝
2pxp0的准线的距离为54点Mt1是C上的定点，A，B是C上的两
动点，且线段AB的中点Qm，
在直线OM上．
1求曲线C的方程及t的值；
2记d＝
AB1＋4m2，求
d
的最大值．
思维点拨2用点差法求kAB，用m表示出AB，利用基本不等式求最值．解1y2＝2pxp0的准线为x＝－p2，
∴1－－p2＝54，p＝12，
∴抛物线C的方程为y2＝x
又点Mt1在曲线C上，∴t＝1
2由1知，点M11，从而
＝m，即点Qm，m，
依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，
设直线AB的斜率为kk≠0．
且Ax1，y1，Bx2，y2，
由yy2122＝＝xx12，，
得y1－y2y1＋y2＝x1－x2，
故k2m＝1，
∴直线AB的方程为y－m＝21mx－m，
即x－2my＋2m2－m＝0
由xy－2＝2xmy＋2m2－m＝0，
消去x，
整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
∴Δ＝4m－4m20，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m
从而AB＝
1＋k12y1－y2
＝1＋4m24m－4m2
f＝21＋4m2m－m2
∴d＝
AB1＋4m2＝2
m
1－m
≤m＋1－m＝1，
当且仅当m＝1－m，即m＝12时，上式等号成立，
又m＝12满足Δ＝4m－4m20∴d的最大值为1
思维升华圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的
定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函
数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最
值．
已知点A－10，B10，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，A→M→BMcos2θ＝3，
过点B的直线交曲线C于P，Q两点．
1求A→M＋→BM的值，并写出曲线C的方程；
2求△APQ面积的最大值．
解1设Mx，y，在△MAB中，
AB＝2，∠AMB＝2θ，
根据余弦定理得
A→M2＋→BM2－2→AMB→Mcos2θ＝4
即→AM＋B→M2－2→AMB→M1＋cos2θ＝4
A→M＋→BM2－4A→M→BMcos2θ＝4
而→AMB→Mcos2θ＝3，
所以A→M＋→BM2－4×3＝4
所以A→M＋→BM＝4
又→AM＋B→M＝42＝AB，
因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆点M在x轴上也符合题意，a＝2，c＝1
所以曲线
C
x2y2的方程为4＋3＝1
2设直线PQ的方程为x＝my＋1
x＝my＋1，由x42＋y32＝1，
f消去x并整理得3m2＋4y2＋6my－9＝0①显然方程①的Δ0，设Px1，y1，Qx2，y2，则S△APQ＝12×2×y1－y2＝y1－y2
由根与系数的关系得
y1＋y2＝－3m62＋m4，y1y2＝－3m29＋4
所以y1－y22＝y1＋y22－4y1y2＝48×
3m2＋33m2＋4
2
令t＝3m2＋3，则t≥3，y1－y22＝t＋41t8＋2
由于函数φt＝t＋1t在3，＋∞上是增函数，
所以t＋1tr