高一数学竞赛试题及答案
时间：2016318注意：本试卷均为解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤总分150分考试时间120分钟
1（本小题满分15分）
设集合Axx23x20Bxx22a1xa250aR，
（1）若AB2求a的值；
（2）若ABA求a的取值范围；
（3）若URACUBA求a的取值范围
2（本小题满分15分）设MxfxxNxffxx（1）求证：MN（2）fx为单调函数时，是否有MN？请说明理由
f3．（本小题满分15分）已知函数fx2si
4xcos4xmsi
xcosx4在x0有最大值5，2
求实数m的值．
f4．（本小题满分15分）
已知函数fx在R上满足f2－x＝f2＋x，f7－x＝f7＋x且在闭区间07上，只有f1＝f3＝0，1试判断函数y＝fx的奇偶性；
2试求方程fx＝0在闭区间－20112011上根的个数，并证明你的结论．
f5．（本小题满分15分）已知二次函数fxax2bx1abRa0，设方程fxx的两个实数根为x1和x2
（1）如果x12x24，设函数fx的对称轴为xx0，求证：x01；（2）如果x12，x2x12，求b的取值范围
f6．（本小题满分15分）
如图，直三棱柱
ABC

A1B1C1
中，
AC
BC

12
AA1
，
D
是棱
AA1
的中点，
DC1BD。（1）证明：DC1BC；
C1
B1
A1
（2）求二面角A1BDC1的大小。
D
C
B
A
f7．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数fx＝x2＋2x＋bx∈R的图象与两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为C
1求实数b的取值范围；2求圆C的方程；3问圆C是否经过定点其坐标与b无关？请证明你的结论．
f8．（本小题满分20分）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称，
对任意x1x2∈0，12
都有
fx1
x2
fx1
fx2且f（1）a＞0．
（Ⅰ）求f1f124
（Ⅱ）证明fx是周期函数；
（Ⅲ）记a


f2

12


求
liml


a


f9（．本小题满分20分）设fx是R上的奇函数，且当x0时，fxlgx2ax10，aR（1）若f1lg5，求fx的解析式；
（2）若a0，不等式fk2xf4xk10恒成立，求实数k的取值范围；（3）若fx的值域为R，求a的取值范围
f高一数学竞赛试题参考答案
1、解：A12
（1）∵AB2
∴2B
即，222（a12a250，解得a3或a1
①当a3时，Bxx24x402②当a1时，Bxx24022
综上a13
（2）∵ABA∴BA
①当B时，则该一元二次方程无解，即△0，
∴2a124a250，即a3
②当B时，则该一元二次方程有解，r