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平行于平面的两个不共线向量,
z



x
y
z
是平面的法向量,则:
a




0

b
0
y
9、空间直角坐标系:单位正交基底常用ijk来表示。(如图)
x
2
2
2
i(1,0,0)j(0,1,0)k(0,0,1)其中:i1,j1,k1,ij0,ik0,
jk0,
1、空间向量的坐标运算:设aa1a2a3,bb1b2b3,则
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(1)aba1b1a2b2a3b3;(2)aba1b1a2b2a3b3;
(3)aa1a2a3a1a2a3(R);
(4)a∥ba1b1a2b2a3b3(即
a1a2a3);b1b2b3
(5)abab0a1b1a2b2a3b30.
(6)aba1b1a2b2a3b3;∵
ab=abcos<a,b>
∴aba1b1a2b2a3b3=a12a22a32b12b22b32cos<a,b>
由此可以得出:两个向量的夹角公式cos<a,b>=
a1b1a2b2a3b3
a12a22a32b12b22b32
当cos<a、b>=1时,a与b同向;当cos<a、b>=-1时,a与b反向;当cos<a、b>=0时,a⊥b.
在空间直角坐标系中,已知点Ax1y1z1,Bx2y2z2,ABx2x1y2y1z2z1
A、B两点间的距离公式:dA、Bx2x12y1y22z1z22
A、B中点M坐标公式:OM1OAOB=x1x2y1y2z1z2
2
2
2
2
10、角
(1)、等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相同。
(2)、最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的
角中最小的.公式:coscos1cos2;
(3)、角的范围:
①、异面直线所成的角的范围:02
两条直线所成的角的范围:02
两个向量所成的角的范围:0
②、斜线与平面所成的角的范围:02
直线与平面所成的角的范围:02
③、二面角的范围:0
O
1
B
A2

C
(4)、定义及求法:
①、异面直线所成的角:已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作a∥a,b∥b,a与b所成的
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锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).范围:0.2
求法一:作平行线;求法二:(向量)两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦。
②、斜线和平面所成的角:一个平面的斜线和它在r
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