在，求出x的值；若不存在，请说明理由；图1（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值
动感体验
请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．
思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以
438APPC＝＝，而＝3．此时△APD与△PCB不相似．ADPB323
图2图3②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以
图4
32AP＝＝．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．AD323综上所述，当x＝2时，△APD∽△CBP．（3）如图5，设△ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点．设△PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F．设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，
FM＝BF－BM＝4－5－m＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝
3m1．3
1所以OB2＝BM2＋OM2＝5m2m12．在Rt△ADP中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所3
以GP2＝3＋m2．于是S＝S1＋S2＝πGP2＋OB2＝3m25m2m12＝

13

3
f挑战中考系列数学

3
7m232m85．所以当m
16113时，S取得最小值，最小值为．77
图5
图6
考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．
问题1，为什么设AP＝2m呢？这是因为线段AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10．这样BM＝5－m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S的最小值．问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FM＝BM－BF＝5－m－4＝1－m．1此时OB2＝BM2＋OM2＝5m21m2．这并不影响S关于m的解析式．3
例3
2015年湖南省湘西市中考第26题
如图1，已知r