直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PEy轴，交AB于点E，过点Q作QFy轴，交抛物线于点F，连结EF，当EFPQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y＝－x＋3，得A30，B03．将A30、B03分别代入y＝－x2＋bx＋c，得所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠PAQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝2t．分两种情况讨论直角三角形APQ：①当∠PQA＝90°时，AP＝2AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．②当∠QPA＝90°时，AQ＝2AP．解方程2t＝23－t，得t＝15（如图3）．
93bc0b2解得c3c3
4
f挑战中考系列数学
图2图3图4（3）如图4，因为PEQF，当EFPQ时，四边形EPQF是平行四边形．
图5
所以EP＝FQ．所以yE－yP＝yF－yQ．因为xP＝t，xQ＝3－t，所以yE＝3－t，yQ＝t，yF＝－3－t2＋23－t＋3＝－t2＋4t．因为yE－yP＝yF－yQ，解方程3－t＝－t2＋4t－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为23．（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－x－12＋4，得M14．由A30、B03，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝32．由B03、M14，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝2．所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能：①当②当
BMOB923时，．．解得t（如图5）4BQOP322tt
BMOP2t2时，．整理，得t－3t＋3＝0．此方程无实根．BQOB322t3
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