取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？
动感体验
请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P
运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角．
思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．
2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC．3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在两种情况．
图文解析
（1）因为抛物线与x轴交于A－30、B10两点，设y＝ax＋3x－1．代入点C0－3m，得－3m＝－3a．解得a＝m．所以该二次函数的解析式为y＝mx＋3x－1＝mx2＋2mx－3m．（2）如图3，连结OP．当m＝2时，C0－6，y＝2x2＋4x－6，那么Px2x2＋4x－6．131由于S△AOP＝OAyP＝2x2＋4x－6＝－3x2－6x＋9，S△COP＝OCxP＝222327－3x，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝3x2．24327所以当x时，S取得最大值，最大值为．24
图3图4图5图6（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作x轴的垂线交DE于F．由y＝mx＋3x－1＝mx＋12－4m，得D－1－4m．在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m．
OAOC33m．所以．解得m＝1．ECEDm1CAOCOCCAOC此时．所以△CDA∽△OBC．3，3．所以CDEDOBCDOB
①如图4，当∠ACD＝90°时，②如图5，当∠ADC＝90°时，此时
2FAFD4m2．所以．．解得mEDEC1m2
OC32DAFD2．因此△DCA与△OBC不相似．22，而3mDCECmOB2
第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H．
综上所述，当m＝1时，△CDA∽△OBC．
考点伸展
由直线AC：y＝－2x－6，可得Hx－2x－6．又因为Px2x2＋4x－6，所以HP＝－2x2－6x．因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
2
f挑战中考系列数学
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝
3327－2x2－6x＝3x2．224
例2
2014年湖南省益阳市中考第21题
如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．21c
jy（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存r