副对角线翻转副对角线翻转依次得a
1La

a1
La

a
La1

D1MMD2MMD3MMa11La1
a11La
1a
1La11
证明D1D21证明QDdetaij

12
DD3D
a11La1
a
1La
a
1La
M1
1∴D1MMMa11La1
a21La2

a11La1
a21La2
1
2a
L11a
1MMa31La3
a11La1
M1
11
2L1Ma
1La
1
12L
2
1
D1

12
D
7
f同理可证D21

12
a11La
1Ma1
M1La


12

12
D1
T

12
D
D31

12
D21
1

12
D1
1DD
7计算下列各行列式7计算下列各行列式Dk为k阶行列式计算下列各行列式
a
1D

1
O
1a
其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0
x
2D

a
L
a
axLaLLLLaaLx
a
3D
1
a1

L
a

a
1La1
a1
1La
1LLLa11LLa
1
提示利用范德蒙德行列式的结果提示利用范德蒙德行列式的结果
a
O
4D2
0
b
0a1c1N0b1d1Od
N0
c

5D
detaij其中aijij
8
f6D

1a11L11a2LL1L1
11
LLL1a

其中a1a2La
≠0
解
a0
1D

0a0
00a
LLL
000
10
0按最后一行展开LLLLLL000La001000000LLLLL000a01000
a1a
2

a
01
1
00a0
a00
Oa
1
1
LLLLLL
1×
1
再按第一行展开
a1
11
Oa
2
2
2将第一行乘分别加到其余各行2将第一行乘1分别加到其余各行得
a
a
a
2a
2a21
xaxD
axLax
axa0L0
a
L
a00Lxa
0LxaLL0L0
再将各列都加到第一列上得再将各列都加到第一列上
9
fx
1aD
00L0
axa0L0
1
a
L
a00Lxa
0LxaLL0L0
x
1axa
3从第行开始次相邻对换3从第
1行开始第
1行经过
次相邻对换换到第1行第
行经
1次对换换到第2行…经
1L1交换交换得

1次行2
1D
11

12
1a1L
L
1
aLa
1a

La
LL
a1
1La
1a1
La

此行列式为范德蒙德行列式
D
111

12

12

1≥ij≥1
∏ai1aj1

12

1≥ij≥1
∏ij1
1

1L12


1≥ij≥1
∏ij

1≥ij≥1
∏ij
a
O0Na1c1Nc
0b1d1Od
10
b

4D2
0
fa
1O按第一行0a
展开c
10
00a
1
0Na1c1N0L
0Oa1b1c1d1Nc
1
b
1b1d1Od
100M
0
0d
b
1
N0O0d
10
1
2
1
b

c

都按最后一行展开a
d
D2
2b
c
D2
2
由此得递推公式由此得递推公式
D2
a
d
b
cr