满分13分）已知函数fxx3，gxxx。
（Ⅰ）求函数hxfxgx的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列a
N满足a1aa0，fa
1ga
，证明：存在常数M使得对于任意的
N，都有a
≤M解析：（I）由hxx3xx知，x0，而h00，且
h110h2620，则x0为hx的一个零点，且hx在（1，2）内有零
点，因此hx至少有两个零点
解法
1：
hx

3x2

1

1
1
x2
，记
x

3x2
1
1
1
x2
，则x

6x

1
3
x2
。
2
2
4
当x0时，x0，因此x在0上单调递增，则x在0内
至多只有一个零点。又因为1030，则x在31内有零点，所
3
3
以x在0内有且只有一个零点。记此零点为x1，则当x0x1时，
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xx10；当xx1时，xx10；所以，当x0x1时，hx单调递减，而h00，则hx在0x1内无零点；当xx1时，hx单调递增，则hx在x1内至多只有一个零点；
从而hx在0内至多只有一个零点。综上所述，hx有且只有两个零点。
解法
2：
hx

xx2
1
1
x2

，记x

x2
1
1
x2
，则x

2x

1
3
x2
。
2
当x0时，x0，因此x在0上单调递增，则x在0内
至多只有一个零点。因此hx在0内也至多只有一个零点，
综上所述，hx有且只有两个零点。
（II）记hx的正零点为x0，即x03x0x0。
（1）当ax0时，由a1a，即a1x0而a23a1a1x0x0x03，因此a2x0，
由此猜测：a
x0。下面用数学归纳法证明：
①当
1时，a1x0显然成立；
②假设当
kk1时，有akx0成立，则当
k1时，由
a3k1

ak

akx0
x0x03知，ak1x0，因此，当
k1时，ak1x0成立。
故对任意的
N，a
x0成立。
（2）当ax0时，由（1）知，hx在x0上单调递增。则hahx00，即
a3aa。从而a23a1a1aaa3，即a2a，由此猜测：a
a。下面用
数学归纳法证明：
①当
1时，a1a显然成立；
②假设当
kk1时，有aka成立，则当
k1时，由
a3k1

ak

aka
aa3知，ak1a，因此，当
k1时，ak1a成立。
故对任意的
N，a
a成立。
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综上所述，存在常数Mmaxx0a，使得对于任意的
N，都有a
M
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