设
0
其它
x
求
0
ftdt在内的表达式
解:1x
0时,
x
x
0
f
tdt
0
20
x
时x
x
0
f
tdt
x
0
12
si
tdt
12
cost
x0
12
1cosx
3x时,
x
x
0
f
t
dt
0
f
t
dt
x
ftdt
0
1si
tdt01cost
2
2
0
1
0x0
x
12
1
c
os
x0
x
1
1x1
lim2x1319、求极限:x4x22
解:limx4
12
2x13lim22x1lim2x22
x22x4
1
x42x13
2x2
arcta
x1dx
20、计算不定积分:
x1x
解
:
arcta
x
x1dx21x
arcta
x
2
d
2
x
1x
arcta
xdarcta
x
212
arcta
2
xC
2
arcta
xC
21、计算二重积分D
xy2d
D是由抛物线
y2
2px和直线x
p2
p
0围成的区域
10
f文档来源为从网络收集整理word版本可编辑欢迎下载支持y
21
O1
2
3
x
1
解:
D0
x
p2
2pxy2px
D
xy2d
p20
2px2px
xy2dydx
p20
x
13
y3
2px2px
dx
p2
x
2
03
3
2pxdx
7
p20
4p
2p3
5
x2dx
4p2p3
151
51
x2
p
20
4p
2p
2
p
2
372
p521
2
z
22、设
yx
而xety1e2t
dz求dt
解:
dzdt
zx
dxdt
zy
dydt
yx2
et
1x
2e2t
1e2te2t
et
1et
2e2t
1e2tet
四、综合题与证明题
1、函数
f
x
x
2si
1x
0
x0在点x0处是否连续?是否可导?x0
解:
f0lim
fx
f0lim
x2si
10x
lim
xsi
1
0
x0x0
x0
x
x0
x
因此x0处可导,由于可导必连续,所以在x0处也连续
2、求函数yx13x2的极值
解:
y
5
x3
2
x3y
5
2
x3
1
1
x3
5x2
33
33x
分界点为:x0x25
x
0
0
y
y
025
25
x0时y极大0
x
25
时,y
极小
45
3
425
25
11
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3、证明:当x0时1xl
x1x21x2
解:设:fx1xl
x1x21x2
fx1l
x1x2x
1
x1x2
1
1x2
x1x2
21x2
l
x
1x2x
x1
x2
1
2
11
x2
2x
xl
x1x2
1x2
x0l
x1x2l
1fx0fx单调增加
因此,x0有fxf01xl
x1x21x20
1xl
x1x21x2
4、要造一圆柱形油罐体积为V问底半径r和高h等于多少时才能使表面积最小?这
时底直径与高的比是多少?
解:
V
r2hh
Vr2
表面积:S
2
r2
2
rh
2
r2
2
r
Vr
2
2
r2
2Vr
S4
r
2Vr2
0
r3V2
h
Vr
2
23
V2
此时直径与高之比为:2rh23V23V122
f
x
l
1x
1x0
5、设
1x1x0x1讨论fx在x0处的连续性与可导性
解:f0l
10
12
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1
f0
lim
x0
fxf0liml
1xl
1lim1x
r