一幂函数
一、幂函数定义形如
Rxy∈αα
的函数称为幂函数其中x是自变量α是常数。
注意幂函数与指数函数有何不同
【思考提示】本质区别在于自变量的位置不同幂函数的自变量在底数位置而指数函数的自变量在指数位置观察图
归纳幂函数图像在第一象限的分布情况如下
二、幂函数的性质
f归纳幂函数在第一象限的性质
0α图像过定点0011在区间∞0上单调递增。0α图像过定点11在区间∞0上单调递减。
探究整数m
的奇偶与幂函数
mxy互质且
mZ
m∈的定义域以及奇偶性有什么关系
结果形如
m
xy互质且
mZ
m∈的幂函数的奇偶性
1当m
都为奇数时fx为奇函数图象关于原点对称2当m为奇数
为偶数时fx为偶函数图象关于y轴对称
3当m为偶数
为奇数时fx是非奇非偶函数图象只在第一象限内三、幂函数的图像画法
关键先画第一象限然后根据奇偶性和定义域画其它象限。指数大于1在第一象限为抛物线型凹指数等于1在第一象限为上升的射线
指数大于0小于1在第一象限为抛物线型凸指数等于0在第一象限为水平的射线指数小于0在第一象限为双曲线型四、规律方法总结
1、幂函数
10αα
xy的图像
2、幂函数
互质qpZqppq
xy∈
αα的图像
f
3、比较幂形式的两个数的大小一般的思路是1若能化为同指数则用幂函数的单调性2若能化为同底数则用指数函数的单调性
3若既不能化为同指数也不能化为同底数则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小
二指数与指数幂的运算
1根式的概念一般地如果ax
那么x叫做a的
次方根其中
1且
∈N
负数没有偶次方根0的任何次方根都是0记作00
。当
是奇数时
aa

当
是偶数时
≥
00aaaaaa

2分数指数幂
正数的分数指数幂的意义规定
10∈
N
maaa
m
m101
1
∈

N
maaa
a

m

m
m
0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质
1r
asrraa0Rsra∈2rssraa0Rsra∈3
srraaab0Rsra∈
f二指数函数及其性质
1、指数函数的概念一般地函数10≠aaayx且叫做指数函数其中x是自变量函数的定义域为R注意指数函数的底数的取值范围底数不能是负数、零和1
2、指数函数的图象和性质
注意利用函数的单调性结合图象还可以看出1在ab上1a0aaxfx≠且值域是bfaf或afbf
2若0x≠则1xf≠xf取遍所有正数当且仅当
Rx∈
3对于指数函数1a0aaxfxr