第九章多元函数微分法及其应用
§81多元函数的基本概念
一、平面点集
维空间
1．平面点集二元的序实数组xy的全体即R2RRxyxyR就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作
Exyxy具有性质P例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是
Cxyx2y2r2如果我们以点P表示xy以OP表示点P到原点O的距离那么集合C可表成
CPOPr
邻域设P0x0y0是xOy平面上的一个点是某一正数与点P0x0y0距离小于的点Pxy的全体称为点P0的邻域记为UP0即
UP0PPP0或UP0xyxx02yy02
邻域的几何意义UP0表示xOy平面上以点P0x0y0为中心、0为半径的圆的内部的点Pxy的全体
点P0的去心邻域记作UP0即
UP0P0P0P
注如果不需要强调邻域的半径则用UP0表示点P0的某个邻域点P0的去心邻域
记作UP0
点与点集之间的关系任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种1内点如果存在点P的某一邻域UP使得UPE则称P为E的内点2外点如果存在点P的某个邻域UP使得UPE则称P为E的外点3边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边点E的边界点的全体称为E的边界记作EE的内点必属于EE的外点必定不属于E而E的边界点可能属于E也可能不属于E聚点
如果对于任意给定的0点P的去心邻域UP内总有E中的点则称P是E的聚
点由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集Exy1x2y22
满足1x2y22的一切点xy都是E的内点满足x2y21的一切点xy都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点xy也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点
开集如果点集E的点都是内点则称E为开集闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集开集的例子Exy1x2y22闭集的例子Exy1x2y22
f集合xy1x2y22既非开集也非闭集连通性如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如Exy1x2y22闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域例如Exy1x2y22有界集对于平面点集E如果存在某一正数r使得
EUOr其中O是坐标原点则称E为有界点集
无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集例如集合xy1x2y22是有界闭区域集合xyxy1是无界开区域集合xyr