多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用
【教学目标与要求】
1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分
条件，了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
【教学重点】
1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；
【教学难点】
1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。
§91多元函数的基本概念
一、平面点集
维空间
1．区域由平面解析几何知道当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元
实数组xy之间就建立了一一对应于是我们常把有序实数组xy与平面上的点P视作是等同的这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元的序实数组xy的全体即R2RRxyxyR就表示坐标平面
坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作Exyxy具有性质P
例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是Cxyx2y2r2
如果我们以点P表示xy以OP表示点P到原点O的距离那么集合C可表成CPOPr
f多元函数微分法及其应用
邻域设P0x0y0是xOy平面上的一个点是某一正数与点P0x0y0距离小于的点Pxy
的全体称为点P0的邻域记为UP0即
UP0PPP0或UP0xyxx02yy02
邻域的几何意义UP0表示xOy平面上以点P0x0y0为中心、0为半径的圆的内部的点Pxy的全体
点P0的去心邻域记作UP0即
UP0P0P0P
注如果不需要强r