2x
f
1x
x
ydydx

从而有

f
x
yd
b


2

x
f
x
ydydx
D
a1x

1
上述积分叫做先对Y后对X的二次积分即先把x看作常数fxy只看作y的函
数对fxy计算从1x到2x的定积分然后把所得的结果它是x的函数再对
x从a到b计算定积分。
这个先对y后对x的二次积分也常记作
b2x
fxyddxfxydy
D
a1x
在上述讨论中假定了fxy0，利用二重积分的几何意义导出了二重积分的计算
公式1。但实际上公式1并不受此条件限制对一般的fxy在D上连续公式1
总是成立的。
类似地如果积分区域D可以用下述不等式
cyd1yx2y
表示且函数1y2y在cd上连续fxy在D上连续则
d2y

d2y
fxydfxydxdydyfxydx
D
c1y

c1y
2
页脚内容10
f第6章定积分
图1024
x显然2式是先对后对y的二次积分。
图1025
2．二重积分化二次积分时应注意的问题
（1）积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点
对于I型或II型区域用平行于y轴x轴的直线穿过区域内部直线与区域的边
界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时可对区域进行剖分化归为I型或II型区域的并集。
（2）积分限的确定二重积分化二次积分确定两个定积分的限是关键。这里我们介绍配置二次积分限的
方法几何法。
画出积分区域D的图形假设的图形如下
图1026
在ab上任取一点x过x作平行于y轴的直线该直线穿过区域D与区域D的边界有两个交点x1x与x2x这里的1x、2x就是将x看作常数而对y积分时的下限和上限；又因x是在区间ab上任意取的所以再将x看作变量而对x积
分时积分的下限为a、上限为b。
例1计算Ixyd其中D是直线y＝1x＝2及y＝x所围的闭区域D
页脚内容11
f第6章定积分
（可用X型区域，Y型区域分别求解）98
例2计算xyd其中D是抛物线y2x及直线yx2所围成的闭区域D
（先对x后对y积分）458
例3计算si
xdxdy其中D是直线yxy0所围成的闭区域2Dx
（先对y后对x积分）
2
x2
22
8x2
例4交换下列积分顺序Idx2fxydydx
fxydy
0
0
2
0
2
8y2
关键画图dy
fxydx
0
2y
例5计算Ixl
y1y2dxdy其中D由y4x2y3xx1所围成D关键：画图，切割积分区域，利用对称性0
3．求体积
思考例6求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积。
解
1作出该立体的简图并确定它在xoy面上的投r