影区域
图1027
消去变量z得一垂直于xoy面的柱面x2y22立体镶嵌在其中立体在xoy面的投
影区域就是该柱面在xoy面上所围成的区域Dx2y22
2列出体积计算的表达式
V62x2y2x22y2d63x23y3d
D
D
3配置积分限化二重积分为二次积分并作定积分计算
页脚内容12
f第6章定积分
图1028
V6d3x2d3y2d
D
D
D
而d2
D
由xy的对称性有
x2dy2d
D
D
2
2x2
2
x2dx2dxdy2x22x2dx
D
2
2x22
2
4x2

2
x2dx

4
2

4
si

2

cos2

d
0
0

16
2
12122
2

16

1142

2


所求立体的体积为
V1266
4．更换积分次序
练习1练习2
练习3
1
1x
1
1y
改变积分dxfxydy的次序dyfxydx
0
0
0
0
1
2xx2
2
2x
改变积分dx00
fxydydxfxydy的次序
1
0
1
2y
dy
fxydx
0
11y2
2a
2ax
改变积分dx
fxydya0的次序
0
2axx2
a
aa2y2
a
2a
2a
2a

dy
0
y2
fxydx
dy
fxydx
0
aa2y2
a
dy
y2
fxydx
2a
2a
练习4求x2ydxdy，其中D是由抛物线yx2和xy2所围平面闭区域33
D
140
页脚内容13
f第6章定积分
练习5求x2ey2dxdy，其中D是以001101为顶点的三角形112
D
6e
练习6
1
计算积分I2dy
yy
1
exdxdy
yy
exdx
3e1
e
1
1
4
2
12
y
82
小结：二重积分计算公式
直角坐标系下
fxydxdy
b
dx
2x
fxydy
a
1x
D
X型
fxydxdy
d
dy
2y
fxydx
c
1y
D
作业习题102（P154）基础题：214343710提高题：64
Y型
页脚内容14
f第6章定积分
章节题目
教学目的重点难点
高等数学教案
第十章重积分§102二重积分的计算法（二）
掌握二重积分的计算方法（极坐标）。二重积分的计算方法二重积分的计算方法
课型理论课
参考书目教学后记
同上《高等数学习题集》教学过程
教具
（一）、复习上节内容（二）讲授
§102二重积分的计算法二一、利用极坐标计算二重积分1变换公式2极坐标下的二重积分计算法3使用极坐标变换计算二重积分的原则二、例题
（三）、本次课内容小结（四）、布置作业
页脚内容15
f第6章定积分
§102二重积分的计算法
二、利用极坐标计算二重积分
1变换公式
按照二重积分的定义有


D
f
x
yd

lim
0i1
f
i
ii
图1029现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点0为中心的一族同心圆r常数以及从极点出发的一族射线常数将D
剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外小闭区域i的面积可如下计算
i

1r