解析：1设si
x＝t0t≤1，则原函数可化为y＝t＋2t，在0，1上为减函数，故当t＝1时，ymi
＝32因为θ∈0，π，所以si
θ∈0，1，y＝si1
θ＋33si
θ≤233＝12，当且仅当si
θ＝33时等号成立，故ymax＝123原函数可化为y＝si
xcosx－2si
x＋cosx＋4，令si
x＋cosx＝tt≤2，则si
xcosx＝t2－21，所以y＝t2－21－2t＋4＝12t－22＋32因为对称轴为直线t＝2－2，2，且函数在区间－2，2上是减函数，所以当t＝2，即x＝2kπ＋π4k∈Z时，ymi
＝92－22；当t＝－2，即x＝2kπ－34πk∈Z时，ymax＝92＋22【注】1直接利用三角函数的有界性，并直接利用基本不等式去求解．2首先是对分数函数的一般的处理方式，然后回到1的步骤去解决．y＝si
x＋sia
x型三角函数求最值，当si
x0，a1时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．3含有“正、余弦三姐妹”，即含有si
x±cosx，si
xcosx的函数的最值问题，常用的方法是令si
x±cosx＝t，t≤2，将si
xcosx转化为关于t的函数关系式，从而转化为二次函数的最值问题，在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定．【变式题】1求函数y＝2si－
xs＋i
2x的最小值；2若0xπ2，求函数y＝1＋co1sx1＋si1
x的最小值．解析：1y＝4－si
2x－＋s2i
x＝si
x4＋2－1≥13，所以最小值为13
2y＝1＋co1sx1＋si1
x
＝1＋si
xs＋i
xccoossxx＋1，令t＝si
x＋cosx，t∈1，2，则si
xcosx＝t2－21，
5
f……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………
所以y＝1＋tt2＋－11＝t2＋t2－2t＋11＝tt＋－11＝1＋t－21，2
由1t≤2，得y≥3＋22，所以函数的最小值为3＋22
自测反馈
1函数y＝2si
π3－x－cosπ6＋xx∈R的最小值是__－1__．解析：因为cosπ6＋x＝si
π3－x，所以y＝2si
π3－x－cosπ6＋x＝2si
π3－x－si
π3－x＝－si
x－π3因为x∈R，所以ymi
＝－12函数y＝si
π3x在区间0，b上恰好取得2个最大值，则实数b的取值范围是__125，227
__．解析：因为函数y＝si
π3x的周期为2ππ＝6，函数y＝si
π3x在区间0，b上恰好取得2个3
最大值，则实数b满足54T≤b94T，解得125≤b227故实数b的取值范围为125，227
3函数y＝2＋3csoi
sxx的值域是__－1，1__．解析：2y＋ysi
x＝3cosx，ysi
x－3cosx＝－2y，得y2＋3si
x＋φ＝－2y，si
x＋φ＝－y22＋y3，则－y22＋y3≤1，解得－1≤y≤1
4函数fx＝si
x＋cosx＋si
xcosx的值域是－1，2＋12．解析：令t＝si
x＋cosx＝2si
x＋π4，则t∈－2，2，t2＝1＋2si
xcosx，则si
xcosx
＝t2－21，则fx＝si
x＋cosx＋si
xcosx＝tr