1
1求当函数fx取得最大值时,x的取值集合;
2当x∈0,1π2时,求fx的值域.解析:1因为fx=2cosxsi
x+π3-3si
2x+si
xcosx+1
2
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=2cosxsi
xcosπ3+cosxsi
π3-3si
2x+si
xcosx+1
=2cosx12si
x+23cosx-3si
2x+si
xcosx+1=2si
xcosx+3cos2x-3si
2x+1=si
2x+3cos2x+1=212si
2x+23cos2x+1
=2si
2x+π3+1
由2x+π3=2kπ+π2,k∈Z,可得x=kπ+1π2,k∈Z,所以函数fx取得最大值时,x的集合为xx=kπ+1π2,k∈Z.
2由x∈0,1π2,得2x+π3∈π3,π2,
所以23≤si
2x+π3≤1,所以3+1≤fx≤3,故fx的值域为3+1,3.【注】对于三角函数最值问题,通常将表达式化为形如y=Afωx+φ+B的形式,确定变量x取值的集合通常由等式ωx+φ=2kπ+θ,k∈Z解出x
已知函数fx=si
2ωx-π6+2cos2ωx-1ω0的最小正周期为π
1求ω的值;
2求fx在区间0,71π2上的最大值和最小值.解析:1因为fx=si
2ωx-π6+2cos2ωx-1=si
2ωxcosπ6-cos2ωxsi
π6+cos2ωx=23si
2ωx+12cos2ωx=si
2ωx+π6,
所以fx的最小正周期T=22ωπ=π,解得ω=1
2由1得fx=si
2x+π6
因为0≤x≤71π2,所以π6≤2x+π6≤43π,所以当2x+6π=π2,即x=π6时,fx取得最大值为1;
3
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当2x+6π=43π,即x=71π2时,fx取得最小值为-23
【变式题】
已知函数fx=si
x+π6+cosx
1求fx的最大值,并写出当fx取得最大值时,x的集合;
2若α∈0,π2,fα+π6=353,求f2a的值.
解析:1fx=si
x+π6+cosx
=23si
x+32cosx=312si
x+23cosx=3si
x+π3,
所以fxmax=3此时,x+π3=2kπ+π2,k∈Z,即x=2kπ+π6,k∈Z
故当fx取得最大值3时,x的集合为xx=2kπ+π6,k∈Z.
2由fα+π6=3si
α+π2=353,
得si
α+π2=35,
所以cosα=35,si
α=45,α∈0,π2,
所以f2α=3si
2α+π3
=312si
2α+23cos2α
=312×2si
αcosα+23×2cos2α-1
=3×12×2×45×35+23×2×295-1
=
3×1225-7503=24
3-2150
考向三角函数最值问题常见的其他函数形式
例31已知x∈0,π,求函数y=si
x+si2
x的最小值;
2已知θ∈0,π,求函数y=1+33ssii
θ2θ的最大值;3求函数y=si
x-2cosx-2的最大值与最小值.
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