1
1求当函数fx取得最大值时，x的取值集合；
2当x∈0，1π2时，求fx的值域．解析：1因为fx＝2cosxsi
x＋π3－3si
2x＋si
xcosx＋1
2
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＝2cosxsi
xcosπ3＋cosxsi
π3－3si
2x＋si
xcosx＋1
＝2cosx12si
x＋23cosx－3si
2x＋si
xcosx＋1＝2si
xcosx＋3cos2x－3si
2x＋1＝si
2x＋3cos2x＋1＝212si
2x＋23cos2x＋1
＝2si
2x＋π3＋1
由2x＋π3＝2kπ＋π2，k∈Z，可得x＝kπ＋1π2，k∈Z，所以函数fx取得最大值时，x的集合为xx＝kπ＋1π2，k∈Z．
2由x∈0，1π2，得2x＋π3∈π3，π2，
所以23≤si
2x＋π3≤1，所以3＋1≤fx≤3，故fx的值域为3＋1，3．【注】对于三角函数最值问题，通常将表达式化为形如y＝Afωx＋φ＋B的形式，确定变量x取值的集合通常由等式ωx＋φ＝2kπ＋θ，k∈Z解出x
已知函数fx＝si
2ωx－π6＋2cos2ωx－1ω0的最小正周期为π
1求ω的值；
2求fx在区间0，71π2上的最大值和最小值．解析：1因为fx＝si
2ωx－π6＋2cos2ωx－1＝si
2ωxcosπ6－cos2ωxsi
π6＋cos2ωx＝23si
2ωx＋12cos2ωx＝si
2ωx＋π6，
所以fx的最小正周期T＝22ωπ＝π，解得ω＝1
2由1得fx＝si
2x＋π6
因为0≤x≤71π2，所以π6≤2x＋π6≤43π，所以当2x＋6π＝π2，即x＝π6时，fx取得最大值为1；
3
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当2x＋6π＝43π，即x＝71π2时，fx取得最小值为－23
【变式题】
已知函数fx＝si
x＋π6＋cosx
1求fx的最大值，并写出当fx取得最大值时，x的集合；
2若α∈0，π2，fα＋π6＝353，求f2a的值．
解析：1fx＝si
x＋π6＋cosx
＝23si
x＋32cosx＝312si
x＋23cosx＝3si
x＋π3，
所以fxmax＝3此时，x＋π3＝2kπ＋π2，k∈Z，即x＝2kπ＋π6，k∈Z
故当fx取得最大值3时，x的集合为xx＝2kπ＋π6，k∈Z．
2由fα＋π6＝3si
α＋π2＝353，
得si
α＋π2＝35，
所以cosα＝35，si
α＝45，α∈0，π2，
所以f2α＝3si
2α＋π3
＝312si
2α＋23cos2α
＝312×2si
αcosα＋23×2cos2α－1
＝3×12×2×45×35＋23×2×295－1
＝
3×1225－7503＝24
3－2150
考向三角函数最值问题常见的其他函数形式
例31已知x∈0，π，求函数y＝si
x＋si2
x的最小值；
2已知θ∈0，π，求函数y＝1＋33ssii
θ2θ的最大值；3求函数y＝si
x－2cosx－2的最大值与最小值．
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