凸集C中，那么目的函数h在开凸集C上可微的。当以下不等式
xyCxyThy0hxhy
成立，则可以称h在开凸集C上的伪凸。本文从结构上分为两个部分，第一部分就是凸函数的性质，这部分可以说是为第二
部分做理论上的铺垫，重点是凸函数的性质及其一些相关定理和不等式。第二部分就是实际应用。
本文共分为4章，以下我对本文各个章节所做出的具体安排：第1章为绪论。在本章的内容主要是阐述了本论文研究背景及其目的，凸函数在国内外研究现状，和一些最新的发展，最后就是涉及本论文的结构。第2章为预备知识。预备知识是我们研究前为第一部分所做的准备工作。在本章首先介绍了凸函数的定义，凸函数的定理以及凸函数的简单的性质，最后就是一些常见的不等式以及这些性质的证明过程。第3章就是凸函数在不等式证明的应用。本章主要分为两个方面进行凸函数应用的探讨。首先就是在数学中的应用，将其分为三个小块进行。在不等式的证明中又分为三个模块。第4章就是凸函数在经济学中的应用，分为最优问题的介绍和Arrowpratt风险厌恶度量。在最优化之中分为线性下的最优化以及非线性下的最优化，并从非线性引出凸线性规划问题，最后简单的介绍了一下Arrowpratt风险厌恶度量。最后就是结论。总结了本文的内容，并且对未来凸函数应用的展望。
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第2章预备知识
21凸函数的定义
下面介绍一下有关凸函数的定义
定义215：我们可以设函数h，其中有IR，xyI，01以下不等式hx1yhx1hy
成立，则我们就称函数h是I上的凸函数。如果我们假设对于任意的数01，且有
xy并且有以下的不等式成立
hx1yhx1hy
则我们将这种称为函数h是I上的严格凸函数。其实对于这些公式在纯粹的数学公式来说是很难理解的，在数学中我们一般用数学
的几何图像来解释这些公式，这样我们就可以更加容易理解这些所代表的意思。当然随着我们知识的不断积累单纯，固定的思维不应该再我们脑袋里重复出现，导数就是一个例子。下面我们运用几何知识来解释凸函数的意义，但这只限于几何。
我们可以设函数yhx，在区间I上有定义并且对于任意的两个数x1x2I且连
续。如下图21所示的那样我们就称这个函数在这个区间上是一个凸函数。这只是凸函数几何定义的文字叙述形式，这样看来是枯燥的，下面我们运用几何的形式来解释，这样更为直观些。
图21凸函数几何图
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下面我们列举几个等价的定义定义225：我们同r