凸函数的性质及其应用
杨贞标
（2008051136）
（黔南民族师范学院数学系贵州都匀558000）摘要凸函数是重要的函数是证明不等式的重要工具是运筹学的理论基础之一本文给出了凸函数
的多种定义几何意义性质及其应用
关键词凸函数Je
se
型不等式凸规划
ThePropertiesa
dApplicatio
sofCo
vexFu
ctio
YANGZhe
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Departme
ofMathematicsQia
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KeywordsCo
vexFu
ctio
Je
se
TypeI
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g
凸函数是一类非常重要的函数在证明不等式和非线性规划中有着广泛的应用本文中首先给出凸函数的多种定义凸函数的几何意义及其性质并将凸函数推广到Je
se
型不等式和
维欧式空间上
1凸函数的定义
定义1如果函数fx在ab上连续对ab上任意不同的两点x1x2有
fx1x2fx1fx2
2
2
则称函数fx是ab上的凸函数
定义2设f为定义在区间I上的函数若对I上的任意两点x1x2和任意实数01总有
fx11x2fx11fx2则称函数f是I上的凸函数
1
f定义3如果函数fx在ab上连续任意x1x2x3ab且x1x2x3有
fx2fx1fx3fx1
x2x1
x3x1
则称函数fx是ab上的凸函数
定义4如果函数fx在ab上连续在ab上可导对xx0ab有
fxfx0xx0fx0
则称函数fx是ab上的凸函数
定义5如果函数fx在ab上连续在ab上二次可导且fx0则称
函数fx是ab上的凸函数
定义6设fX为定义在
维欧氏空间E
中某个凸集Rc上的函数若对任何实数01以及Rc中的任意两点X1和X2恒有
fX11X2fX11fX2
则称函数fX是定义在Rc上是凸函数
注①若函数fx为凸函数则fx为凹函数②将上述定义中的或改为或则是严格凸函数的定义
2凸函数的几何意义设函数fx为凸函数图如图一所示
令x1x2x3则有
x2

x3x3
x2x1
x1

x2x3

x1x1
x3
由定义2与定义3有
fx2
fx3x2x3x1
x1
x2x1x3x1
x3

x3x2x3x1
fx1
x2x1x3x1
fx3
2
f即
fx2fx1fx3fx1fx3fx2
x2x1
x3x1
x3x2
上式说明了凸函数的几何意义弦AB的斜率小于弦AC的斜率弦AC的斜
率小于弦BC的斜率
即kkk
AB
AC
BC
y
C
8
6
4
2
A
B
yfx
x
x1
5
x210
x315
3凸函数的性质
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