∠ADI1∠BAC∠IDG，∴A、I、I1共线
2
2
I1是△ABC的BC边外的旁心
二、（本题满分50分）
f设正数a、b、c、x、y、z满足cybzaazcxbbxayc求函数fxyzx2y2z2的最小值
1x1y1z
求函数fcosA、cosB、cosC）cos2Acos2Bcos2C的最小值1cosA1cosB1cosC
令ucotAvcotBwcotC则uvwRuvvwwu1
且u21uvuwv21uvvww21uwvw
u2cos2Au21
1cosA1uu21
u2
u2u21u
u21u21u
u21
u2u3u2
u3
u2u311
u21
uvuw
2uvuw
同理，cos2Bv2v31

1
cos2C
w2w3
1

1
1cosB
2uvuw1cosC
2uwvw
fu2v2w21u3v3v3w3u3w3u2v2w21u2uvv2
2uvvwuw
2
v2vww2u2uww21uvvwuw1（取等号当且仅当uvw，此时，
2
2
fa

b

cx

y

z

12
f
x
yzmi


12
三、（本题满分50分）
0当
为平方数
对每个正整数

，定义函数
f




1当
不为平方数

240
（其中x表示不超过x的最大整数，xxx试求：fk的值k1
示例如下：
j
i
1
2
3
4
5
6
1






2



3


4

5
6

f

2k
则faTj
T1T2
1T3T4T2
1T2

i1
i1j1
256
15
由此，fk16kT2k1Tk……③
k1
k1
记akT2k1T2kk1215易得ak的取值情况如下：
k123456789101112131415356678698881071010
ak
16

15
因此，fk16kak783……④
k1
k1
……②
2020年全国高中数学联赛加试第2题的探讨
本文对2020年的全国高中数学联赛加试第2题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。
题目：设正数a、b、c、x、y、z满足cybza；azcxbbxayc，求函数
fxyzx2y2z2的最小值。1x1y1z
一．几种迷茫思路的分析这道题目初看起来比较平易，给人一种立刻想到直接使用Cauchy不等式的通畅思路的惊喜，殊不知，这是一个极大的误区，本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。思路一：
f由Cauchy不等式知fxyzx2y2z21x1y1z
xyz2u2记uxyzu396
3xyz3u
u3
到此，在u＞0的情况下，力图使用函数fxx1的性质无法得到最小值。x
思路二：考虑到题目的条件是6个变量的3个等量关系，于是，可根据三个条件等式容易求出x、y、
z用a、b、c表达的式子：
xb2c2a22bc
yc2a2b22ca
因为a、b、c；x、y、z都是正数，所以，
za2b2c22ab
a2b2c20b2c2a20c2a2b20
到此，似乎胜利的曙光就在眼前r