个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上
的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有8种…5分2
下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设
x1x2xk是依次排列于这段弧上的小球号码，则
1x1x1x2xk91x1x1x2xk9198上式取等号当
且仅当1x1x2xk9，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列
因此S最小2816
由上知，当每个弧段上的球号1x1x2xk9确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定
在12，…，9中，除1与9外，剩下7个球号23，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个
子集共有C70
C71
C72

C
37

26
种情况，每种情况对应着圆周上使
S值达到最小的唯一排法，即有利事
件总数是26种，故所求概率P26183152
15过抛物线yx2上的一点A（11）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B点C在抛物线
上，点
E
在线段
AC
上，满足
AEEC

1点
F
在线段
BC
上，满足
BFFC

2
，且1

2
1，线段
CD
与
EF
交于点P当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程
f当x0

12
时，EF
方程为：
32
y


14
2

14
1
3x
32

14
2

CD
方程为：x

12
，联立解得

x

y

12112

也在
P
点轨迹上因
C
与
A
不能重合，∴x0
1x

23
∴所求轨迹方程为y13x12x2
3
3
解二：由解一知，AB的方程为y2x1B01D10故D是AB的中点2
令

CDCP

t1

CACE
11t2

CBCF
12则t1
t2
3因为CD为ABC的中线，
SCAB2SCAD2SCBD
而1CECFSCEFSCEPSCFP111t1t233P是
t1t2CACBSCAB2SCAD2SCBD2t1t22t1t22t1t2
2
fABC的重心
设Px
y

C

x0

x
20

因点
C异于A，则x0
1故重心P的坐标为
x
01x03
1x03
x
2y3
11x023

x023

消去
x0

得
y

13
3x
12
故所求轨迹方程为y13x12x2
3
3
2020年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案
一、（本题满分50分）如图，在△ABC中，设ABAC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交
线段AB于D；交直线l于E、F。证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。
（2）再证DF过△ABC的一个旁心
连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1，连II1、BI1、BI，由（1）知，I为内心，
∴∠IBI190°∠EDI1，∴D、B、l1、I四点共圆，∵∠BIl1∠BDI190°－∠ADI1
（1∠BAC∠ADG）－r