，立刻想到在区间
4
92

内使用函数
f
x

x

1x
的性质，但也无法得到
最小值，而此时的最大值正好与题目的最小值1（由于函数fxyzcos2Acos2Bcos2C
2
1cosA1cosB1cosC
的对称性，可以猜测其最小值在ABC600时达到1）吻合，实际上，这是一条无用的信息（表明使用Cauchy2
不等式过当！），它是答题人再次陷入不能自拔的困境。俗话说得好，失败是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式不能直接使用Cauchy不等式，需要
再对原式做更好的更有用的恒等变形，可能是正确的途径。
f二．赛题的解答
为证明本赛题，我们先证明如下一个引理。
引理：在△ABC中，求证：
ta
2Ata
2Bta
2C28si
Asi
Bsi
C
①
2
2
2
222
等号成立的条件是△ABC为等边三角形。
证明：用向量方法证明如下




设ijk是平面上的单位向量，且j与k成角为πAk与i成角为πBi与j成角为πC那么，
ita

A

j
ta

B

k
ta

C2

0
所以
2
2
2
ta
2Ata
2Bta
2C
2
2
2
2ta
Ata
BcosC2ta
Bta
CcosA2ta
Cta
AcosB
22
22
22
2ta
Ata
B12si
2C2ta
Bta
C12si
2A
22
2
22
2
2ta
Cta
A12si
2B
22
2
2ta
Ata
Bta
Bta
Cta
Cta
A
22
22
22
4si
Asi
Bsi
C
si
A2

si
B2

si
C2

222cosBcosCcosCcosAcosAcosB
22
22
22
24si
Asi
Bsi
Csi
Asi
Bsi
C2222cosAcosBcosC222
28si
Asi
Bsi
C222
注意到，在△ABC中有熟知的等式：ta
Ata
Bta
Bta
Cta
Cta
A1
22
22
22
从而①得证。
有了上面的引理，本题的解答就容易多了，下面看本题的解法。
解：同思路二得到，以a、b、c为对应边可以构成一个锐角△ABC，
令xcosAycosBzcosC从而
fcos2Acos2Bcos2C1si
2A1si
2B1si
2C
fxyz





1cosA1cosB1cosC2cos2A2cos2B2cos2C
2
2
2
14si
2Acos2A14si
2Bcos2B14si
2Ccos2C

2
2
2
2
22
2cos2A
2cos2B
2cos2C
2
2
2
si
2Acos2A4si
2Acos2Asi
2Bcos2B4si
2Bcos2B
2
2
2
2
2
2
22
2cos2A
2cos2B
2
2
si
2Ccos2C4si
2Ccos2C
2
2
22
2cos2C
2
31ta
2Ata
2Bta
2C2si
2Asi
2Bsi
2C
22
2
2
2
2
2
2
31ta
2Ata
2Bta
2C212si
Asi
Bsi
C
22
2
2
2
222
3128si
Asi
Bsi
C212si
Asi
Bsi
C
22
222
222
12
等号成立的条件显然是ABC600时达到，最后一个不等式是根据引理而得到的。
所以，fxyzx2y2z2的最小值为1
1x1y1z
2
显然，在ABC600时，等号成立，所以fxyz的最小值为12
三．背景探索
早在1994年，华东交大刘健先生就提出了如下r