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高中数学竞赛题中的高等数学背景
作者：潘劲来源：《数学教学通讯教师阅读》2006年第08期
高中数学竞赛所涉及的内容不会超出初等数学与中学数学所能接受的内容．但它往往有着高等数学的背景，下面列举两例来说明．
例1已知实数列a0a1a2……满足
ai1ai12aii12…）求证：对于任意的
∈N，P（x∑
i0aici
xi1x
1是x的一次多项式．
这是1986年全国高中数学联赛试题，我们只须用等差数列、二项式定理及组合恒等式ici
ci1
1等初等数学知识即可证明．
由题设条件ai1ai12ai可变形为aiai1ai1aii123…，这说明a0a1a2……是以（a1a0为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得
aia0ia1a0i123…
所以Pxa0c0
1x
［a0a1a0］c1
x1x
1［a02a1a0］c2
x21x
2…［a0
a1a0］c
x

a0［c0
1x
c1
x1x
1c2
x21x
2…c
a1a0［c1
x1x
12c2
x21x
2…
c
x
］

x
］
由二项式定理，有
c0
1x
c1
x1x
1c2
x21x
2…c
x
［1xx］
1
以及c1
x1x
12c2
x21x
2…
c
x
x［1x
1c1
1xx1
2…x
1］
x［1xx］
1
x
从而Pxa0a1a0
xa1≠a0
其实该题有着深刻的高等数学背景．事实上设f为定义在［01］上的实值函数，我们称函数B
fx∑
j0ci
fj
xj1x
jx∈［01］
为f的
阶伯恩斯坦（Ber
stei
多项式．它有一个重要性质：
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若k1k2为常数，且fk1f1k2f2，则B
fxk1B
f1xk2B
f2x即伯恩斯坦多项式对于函数f是线性的，特别地，一次函数的任何伯恩斯坦多项式都是一次多项式．本题正好由此而来．例2函数Fxcos2x2si
xcosxsi
2xAxB在［0，3π2］的最大值M与参数A，B有关，问A，B取何值时M有最小值？这是1993年全国高中数学联赛试题，本题的高等数学背景就是函数逼近中的最佳逼近问题．我们先由初等数学知识给出本题的解法：F（xcos2x2si
xcosxsi
2xAxBcos2xsi
2xAxB2si
2xπ4AxB当AB0时，F（x成为Fx2si
2xπ4在区间［03π2］由正弦函数图象易知，x1π8x25π8x39π8，使F（x取最大值2，它就是所要求的最小M值，为说明这一点，只需证明对任何不同时为0的A，B，有
max0≤x≤3π2Fx＞max0≤x≤3π2fx2．运用反证法，若max0≤x≤3π2Fx≤2．则F（π8）2π8AB≤2，故π8AB≤01同理，由F（5π8）≤2及F（9π8）≤2得5π8AB≥0（2），9π8AB≤0（3）
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由（1），（2r