关系得：BECE＝ENBC，BDCD＝DMBC
∴BECEENTN2
BDCDDMTM由12得：GNTN又GNPFM，F、G、T三点共线
FMTM
A
D
E
FHG
B
MRNC
T
证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R
∵DM∥AR∥EN
∴DFAHEGFMHRGN
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f由合比定理得：DMENGNENTN故F、G、T三点共线FMGNFMDMTM
A
D
E
FHG
B
M
NC
T
证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：
BTCEAD1　　　　1TCEADB
设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC
∴AH∥DF∥EG
∴CECGADHF代入1得BTCGHF1
EAGHDBFB
TCGHFB
由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线
A
D
E
FGG
B
M
NC
T
证法4：连结FT交EN于G’，易知DFEGFMGN
为了证明F、G、T三点共线，只需证明DFEG即可FMGN
∵DF
SBDF

12
BD

BF
si

ABE

BDsi
ABE
FM
SBMF
12
BM

BF
si

CBE
BMsi
CBE
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fEG

SCEG

12
CE

CG
si

ACD

CE
si
ACD
GN
SCMG
12
CN

CG
si

BCD
CNsi
BCD
又BDBCCEBCBMBDCNCE
∴DFBCsi
ABEEGBCsi
ACD　　1
FMBDsi
CBEGNCEsi
BCD
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE＝∠ACD2
又BDBCCEBDsi
CBECEsi
BCD3
si
BCD
si
CBE
将23代入（1）得：DFEG，故F、G、T三点共线FMGN
3、设a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
解：显然c＞1由题设得：c2ac2ab3
若取
c2c2
abab2
则c2

bb1
2
由大到小考察b，使bb1为完全平方数，易知当b＝8时，c2＝36，则c6，从而
2
a28。下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：
c
c4
x3x3c4
c4x3
2
16
18
178
3
81
182764
80735417
4
256
182764125216
25524822919213140
5
625
182764125216343
624617598561500409282
512
113
显然，表中c4x3的值均不是完全平方数。故c的最小值为6
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